Кафедра ЛФИ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG    

Введение в теорию групп

М.А. Берштейн

В курсе изучается теория групп, лежащая в основе теории симметрии. Теория групп имеет большие приложения в физике – от уже классических групп симметрий кристаллов и понятия спина как представления SU(2) до нашедших свои применения в физике относительно недавно топологических инвариантов.

Курс с построен с расчетом на приложения. Видимо, особенностью для в целом математического курса является то, что некоторые математические теоремы не доказываются (дается "объяснение", почему это верно, или поясняющий пример, или просто ссылка на литературу). Основной упор делается на задачи и примеры, оценки выставляются на основе задач, которые студенты решают дома (после каждой лекции выдается задание) и одной очной письменной работы. Также оригинальным является изучение непрерывных групп уже в начальном курсе по теории групп.

Программа

Материалы лекций
Часть 1
  1. Группа перестановок. Разложение в произведение циклов. Разложение в произведение транспозиций. Четность перестановок.
  2. Абстрактные группы. Подгруппа. Порядок группы. Примеры.
  3. Таблица умножения группы. Группа остатков Zn. Изоморфизм групп. Прямое произведение групп. Классификация конечных абелевых групп.
  4. Действие группы на множестве. Орбиты, стабилизаторы. |G| = |Gx| · |Gx|
  5. Порядок элемента. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
  6. Классы сопряженности. Описания классов сопряженности для группы Sn, для группы движений пространства.
  7. Нормальные подгруппы. Полупрямое произведение групп.
  8. Теорема о гомоморфизме. Теорема Кэли.
  9. Группа симметрий правильного многоугольника. Группы симметрий правильных многогранников.
Часть 2
  1. Представления групп. Примеры. Прямая сумма представлений. Непри- водимые представления. Теорема Машке. Представления конечных цикличе- ских групп.
  2. Коммутант группы. Одномерные представления групп. Примеры.
  3. Характеры представлений. Свойства характеров. Таблица характеров. Примеры.
  4. Тензорное произведение векторных пространств. Симметрические тензоры, кососимметрические тензоры.
  5. Тензорные произведения представлений (⊠ и ⨂). Ограничение представления на подгруппу. Примеры.
  6. Представления групп. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления.
Часть 3
  1. Группы U(1), SO(2), их представления, соотношение ортогональности.
  2. Группы Ли. Алгебры Ли. Примеры. Касательное пространство к единице является алгеброй Ли.
  3. Изоморфизм алгебр Ли 𝔰𝔬(3), 𝔰𝔲(2) и R3.
  4. Группы SU(2), SO(3), связь между ними. Координаты на них. Экспоненциальное отображение.
  5. Представления алгебр Ли. Неприводимые представления алгебры 𝔰𝔲(2).
  6. Представления групп SU(2) и SO(3).
  7. Характеры представлений групп Ли. Тензорное произведение представлений SU(2).
  8. Комплексификация алгебры Ли, связь представлений. Примеры: 𝔰𝔩(n,R), 𝔰𝔬(p, q).
  9. Ортогональная алгебра Ли. Алгебра 𝔰𝔬(4).

Литература

  1. Э. Б. Винберг Курс Алгебры Главы 4, 12
  2. Д. А. Шапиро Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина)
  3. Ж.-П. Серр Линейные представления конечных групп Часть 1
  4. Э. Б. Винберг Линейные представления конечных групп
  5. М. Хамермеш Теория групп и ее применения к физическим проблемам
  6. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 3 Квантовая механика гл. XII
  7. B.-C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction
  8. S. Sternberg. Group Theory and Physics
  9. W. Fulton, J. Harris Representation Theory. A First Course