Введение в теорию групп

М.А. Берштейн

В курсе изучается теория групп, лежащая в основе теории симметрии. Теория групп имеет большие приложения в физике – от уже классических групп симметрий кристаллов и понятия спина как представления SU(2) до нашедших свои применения в физике относительно недавно топологических инвариантов.

Курс с построен с расчетом на приложения. Видимо, особенностью для в целом математического курса является то, что некоторые математические теоремы не доказываются (дается "объяснение", почему это верно, или поясняющий пример, или просто ссылка на литературу). Основной упор делается на задачи и примеры, оценки выставляются на основе задач, которые студенты решают дома (после каждой лекции выдается задание) и одной очной письменной работы. Также оригинальным является изучение непрерывных групп уже в начальном курсе по теории групп.

Программа

Часть 1

1. Группа перестановок.
2. Абстрактные группы. Действие группы на множестве.
3. Порядок элемента. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
4. Изоморфизм групп. Прямое произведение групп.
5. Классы сопряженности. Описания классов сопряженности для группы S_n.

Часть 2

6. Гомоморфизм групп. Коммутант группы.
7. Представления групп. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления.
8. Характеры представлений.
9. Тензорное произведение векторных пространств. Ограничение представления на подгруппу.

Часть 3

10. Многообразия. Задание многообразия уравнениями. Касательное пространство.
11. Группы Ли. Алгебры Ли. Касательное пространство к единице является алгеброй Ли. Экспоненциальное отображение.
12. Изоморфизм алгебр Ли so(3), su(2) и R³.
13. Представление групп Ли. Представления алгебр Ли.
14. Неприводимые представления алгебры su(2). Представления групп SU(2) и SO(3). Спин.
15. Характеры представлений групп Ли. Коэффициенты Клебша-Гордона.

Литература

1. Э. Б. Винберг Курс Алгебры Главы 4, 12
2. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 3 Квантовая механика гл. XII
3. Д. А. Шапиро Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина)
4. М. Хамермеш Теория групп и ее применения к физическим проблемам Часть 1
5. Ж.-П. Серр Линейные представления конечных групп Часть 1
6. Э. Б. Винберг Линейные представления конечных групп Часть 1