Введение в теорию групп
В курсе изучается теория групп, лежащая в основе теории симметрии. Теория групп имеет большие приложения в физике –
от уже классических групп симметрий кристаллов и понятия спина как представления SU(2)
до нашедших свои применения в физике относительно недавно топологических инвариантов.
Курс с построен с расчетом на приложения. Видимо, особенностью для в целом математического курса является то, что некоторые математические
теоремы не доказываются (дается "объяснение", почему это верно, или поясняющий пример, или просто ссылка на литературу).
Основной упор делается на задачи и примеры, оценки выставляются на основе задач, которые студенты решают дома
(после каждой лекции выдается задание) и одной очной письменной работы. Также оригинальным является изучение
непрерывных групп уже в начальном курсе по теории групп.
Программа
Материалы лекций
- Часть 1
-
- Группа перестановок.
- Абстрактные группы. Действие группы на множестве.
- Порядок элемента. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
- Изоморфизм групп. Прямое произведение групп.
- Классы сопряженности. Описания классов сопряженности для группы Sn.
- Часть 2
-
- Гомоморфизм групп. Коммутант группы.
- Представления групп. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления.
- Характеры представлений.
- Тензорное произведение векторных пространств. Ограничение представления на подгруппу.
- Часть 3
-
- Многообразия. Задание многообразия уравнениями. Касательное пространство.
- Группы Ли. Алгебры Ли. Касательное пространство к единице является алгеброй Ли. Экспоненциальное отображение.
- Изоморфизм алгебр Ли so(3), su(2) и R3.
- Представление групп Ли. Представления алгебр Ли.
- Неприводимые представления алгебры su(2). Представления групп SU(2) и SO(3). Спин.
- Характеры представлений групп Ли. Коэффициенты Клебша-Гордона.
Литература
- Э. Б. Винберг Курс Алгебры Главы 4, 12
- Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 3 Квантовая
механика гл. XII
- Д. А. Шапиро Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2
(Представления групп и их применение в физике. Функции Грина)
- М. Хамермеш Теория групп и ее применения к физическим проблемам Часть 1
- Ж.-П. Серр Линейные представления конечных групп Часть 1
- Э. Б. Винберг Линейные представления конечных групп Часть 1
|