Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Нелинейные проблемы гидродинамики

В.П. Рубан

Задачей данного односеместрового курса является ознакомление студентов с основами теоретической механики жидких сред, ее современными проблемами и методами исследования. Большое внимание уделено применению гамильтоновского формализма при рассмотрении движения идеальной жидкости, поэтому отчасти данный курс можно считать продолжением обычного курса аналитической механики --- в смысле ее обобщения на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Предполагается знакомство студентов с элементами вариационного исчисления. Важнейшей целью курса является научить студентов решать содержательные задачи по гидродинамике. В Задании имеется несколько десятков задач с краткими решениями, некоторые из которых разбираются студентом самостоятельно, а затем на занятиях решение объясняется товарищам. В течение семестра каждый студент также обязан решить две достаточно серьезных новых задачи, после чего эти задачи с решениями обычно добавляютя в Задание.

Программа

  1. Теоретическая механика идеальной жидкости
    1. Принцип наименьшего действия в гидродинамике. Лагранжев и Эйлеров способы описания движения жидкости. Уравнение непрерывности. Функционалы и вариационные производные. Вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа для элементов сплошной среды. Маркировочная симметрия жидкой среды и фактическая зависимость лагранжиана только от эйлеровых переменных. Примеры лагранжианов: обычная гидродинамика, релятивистская гидродинамика, двухжидкостная нерелятивистская модель плазмы, электронная магнитная гидродинамика. Общая форма уравнений движения в эйлеровом описании -- обобщенное уравнение Эйлера. [1, 8].
    2. Гамильтонов формализм в механике жидкости. Определение канонического импульса жидкого элемента. Гамильтонов функционал. Неканоническая скобка Пуассона, ее вырожденность. Интеграл спиральности --- пример функционала Казимира. Вмороженность обобщенной завихренности. Теорема Кельвина о сохранении циркуляции и лагранжев инвариант Коши как следствия маркировочной симметрии. Вариационные принципы, определяющие динамику вмороженных вихревых структур заданной топологии. Переменные Клебша как пример канонических переменных. Лагранжиан системы в представлении вмороженных вихревых линий. [1, 8].
    3. Потенциальные течения.
      1. Звук. Гамильтониан звуковых волн. Квадратичное приближение и нормальные переменные. Нелинейные эффекты, вычисление матричных элементов нелинейного взаимодействия волн. [1].
      2. Одномерная газовая динамика. Характеристики. Инварианты Римана. Метод годографа. Опрокидывание простых волн. Ударные волны. Разрывы в начальных условиях. Теория "мелкой воды". Уравнение Бюргерса. [2].
      3. Волны на свободной поверхности. Лагранжиан потенциальных несжимаемых течений со свободной поверхностью в общем виде. Пузыри и капли. Канонические переменные и . Закон дисперсии поверхностных волн. Асимптотическое разложение гамильтониана по степеням малого параметра нелинейности. Конкуренция дисперсии и нелинейности в бегущей волне, уравнение Кортевега-де-Вриза, солитоны. Конформные переменные в плоской задаче со свободной границей. Задача о возбуждении волн ветром. [2, 1, 9, 10, 14, 15, 7].
      4. Нелинейное резонансное взаимодействие волн. Редукция гамильтонианов. Задача волн. Взрывная неустойчивость. Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) для огибающей слабонелинейной квазимонохроматической волны. Волновые коллапсы. Слабонадкритические неустойчивости, образование структур. Волновая турбулентность. Кинетическое уравнение. Каскад энергии и волнового действия. [1, 7, 11, 12].
    4. Вихревые структуры в идеальной жидкости. Вихревые листы, неустойчивость тангенциального разрыва. Двумерные течения с кусочно-постоянной завихренностью. Тонкие вихревые нити в пространстве и точечные вихри в плоскости. Гамильтониан и динамика точечных вихрей, применение ТФКП. Нелокальный гамильтониан вихревых нитей. Преобразование Хасимото и интегрируемое приближение локальной индукции в динамике одной вихревой нити. Закон дисперсии для малых возмущений прямой вихревой нити. Неустойчивость Кроу двух антипараллельных вихревых нитей. Проблема образования конечно-временных особенностей из гладких начальных данных в решениях уравнения Эйлера.[7].
  2. Вязкая жидкость
    1. Ламинарные течения. Уравнения дижения с учетом диссипативных процессов -- уравнения Навье-Стокса. Диссипация энергии. Течение по трубе. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами. Закон подобия. Течения при малых числах Рейнольдса. Обтекание шара, формула Стокса. Обтекание цилиндра, уравнение Осеена. Ламинарный след. Ламинарный пограничный слой, уравнения Прандтля. Теплопроводность в жидкости. Свободная конвекция. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости. [2].
    2. Турбулентность. Проблема устойчивости стационарного течения жидкости. Хаос в динамических системах, представление о странном аттракторе. Развитая турбулентность. Идеи Колмогорова о каскаде. Корреляционные функции скоростей. Аномальная размерность. [2, 5].
  3. Другие примеры гидродинамических явлений
    1. Сверхтекучая гидродинамика. Спектр элементарных возбуждений в квантовой бозе-жидкости и явление сверхтекучести. Двухскоростная гидродинамика. Квантованные вихревые нити. Вихревая решетка, волны Ткаченко. Сверхтекучая турбулентность. Слабо неидеальный бозе-газ при нуле температур, уравнение Гросса-Питаевского. Неустойчивость конденсата и коллапс волновой функции в случае притяжения. [3, 6, 13].
    2. Динамика плазмы.
      1. Кинетическое описание плазмы. Бесстолкновительная плазма. Самосогласованное поле. Уравнение Власова. Различные виды волн в плазме. Затухание Ландау. Релаксация начального возмущения. Плазменное эхо. Адиабатический захват электронов. Столкновения частиц в плазме. Неустойчивости в плазме. [4].
      2. Гидродинамическое описание плазмы. Многокомпонентные гидродинамические модели плазмы, их различные предельные случаи: квазинейтральная плазма, магнитная гидродинамика (МГД), Холловская МГД, электронная МГД.[4, 1, 8].

Литература

  1. В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, Успехи Физ. Наук 167, 1137 (1997).
  2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Гидродинамика, (Москва, Наука, 1988).
  3. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2.
  4. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Физическая кинетика.
  5. У. Фриш, Турбулентность. Наследие А.Н. Колмогорова, (Москва, ФАЗИС, 1998).
  6. И.М. Халатников, Теория сверхтекучести, (Москва, Наука, 1971).
  7. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, (Москва, Наука, 1980).
  8. V. P. Ruban, Phys. Rev. E 68, 047302 (2003); physics/0304101.
  9. A. I. Dyachenko, Y. V. L'vov, and V. E. Zakharov, Physica D 87, 233 (1995).
  10. А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов, Физика Плазмы 22, 916 (1996).
  11. A.M. Balk, Physica D 139, 137 (2000).
  12. A.N. Pushkarev, V.E. Zakharov, Physica D 135, 98 (2000).
  13. С.К. Немировский, В.В. Лебедев, ЖЭТФ 84, 1729 (1983).
  14. V. P. Ruban and J. J. Rasmussen, Phys. Rev. E 68, 056301 (2003).
  15. V. P. Ruban, Phys. Rev. E 70, 066302 (2004); Phys. Lett. A 340, 194 (2005). Phys. Rev. E 78, 066308 (2008).