Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Методы теории одномерных квантовых систем

М.Ю. Лашкевич

Курс лекций посвящен точным и непертурбативным результатам в квантовомеханических и квантовополевых задачах с одним пространственным измерениям. Излагаются простейшие инстантонные методы, метод 1/N-разложения, анзатц Бете и точные S-матрицы. В качестве примеров используются O(N)-симметричные сигма-модели, модели Тирринга и синус-Гордона, цепочки Гайзенберга, модели льда, а также точное решение задачи Кондо. Содержание курса рассчитано на студентов-теоретиков, хорошо знакомых с квантовой механикой и квантовой теорией поля.

Программа

  1. O(2)-модель и переход Костерлица-Таулеса [Конспект: PDF]
    • Вихри в O(2)-модели и кулоновский газ.
    • Запись через нелокальное поле и эквивалентность модели sin-Гордон.
    • Переход плазма-газ.
    • Масштабная размерность возмущающего оператора и точное значение точки перехода.
  2. Бозонизация модели Тирринга [Конспект: PDF]
    • Представление фермионов через бозонные поля (бозонизация).
    • Сокращение расходящихся частей в лагранжиане и точная связь между константами связи.
  3. Ренормгруппа для перехода Костерлица--Таулеса [Конспект: PDF]
    • Перенормировка констант связи в модели синус-Гордона во втором порядке по теории возмущений
    • Ренормгруппа и ренормгрупповые потоки.
  4. O(N)-модель: 1/N-разложение [Конспект: PDF]
    • Теория возмущений по 1/N для O(N)-модели.
    • Генерация массы.
    • Кинематические условия рассеяния и вычисление S-матрицы по теории возмущений.
  5. O(N)-модель: интегрируемость и точная S-матрица [Конспект: PDF]
    • Высшие интегралы движения и факторизация S-матриц.
    • Уравнение Янга-Бакстера.
    • Вычисление S-матрицы O(N)-модели из условий факторизации и пертурбативного результата.
  6. Модель Тирринга: решение методом анзатца Бете [Конспект: PDF]
    • Псевдовакуум и волновые функции модели Тирринга в анзатце Бете.
    • Уравнения Бете и их термодинамический предел.
    • Спектр и S-матрица модели.
  7. Спиновая цепочка Гайзенберга и ее скейлинговый предел [Конспект: PDF]
    • XYZ-модель.
    • Преобразование Йордана-Вигнера и XY-модель.
    • Скейлинговый предел и связь с моделью Тирринга/sin-Гордона.
  8. Уравнение Янга-Бакстера и анзатц Бете [Конспект: PDF]
    • XXZ-модель и шестивершинная модель.
    • Уравнение Янга-Бакстера и коммутирующие трансфер-матрицы.
    • Координатный анзатц Бете
  9. Алгебраический анзатц Бете. Решение уравнений Бете [Конспект: PDF]
    • Псевдовакуум и собственные состояния в рамках алгебраического анзатца Бете.
    • Уравнения Бете и их решение в термодинамическом пределе.
    • Вычисление свободной энергии шестивершинной модели.
  10. Задача Кондо: вывод анзатца Бете [Конспект: PDF]
    • Эффект Кондо.
    • Приведение задачи к одномерной.
    • Первичный и вторичный анзатц Бете.
    • Система уравнений Бете для задачи Кондо.
  11. Задача Кондо: решение уравнений Бете [Конспект: PDF]
    • Основное состояние в нулевом магнитном поле.
    • Обсуждение вывода формулы для намагниченности для системы во внешнем магнитном поле.
    • Краткое обсуждение случая конечной температуры.
Задачи по курсу приведены в конце каждой лекции.

Литература

  1. В.Л. Березинский, «Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии», Кандидатская диссертация, 1971 г.
  2. W. E. Thirring, Annals Phys. 3 (1958) 91
  3. S. Coleman, Phys. Rev. D11 (1975) 2088
  4. S. Mandelstam, Phys. Rev. D11 (1975) 3026
  5. Al. B. Zamolodchikov, Int. J. Mod. Phys. A10 (1995) 1125
  6. А. А. Белавин, А. М. Поляков, Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика, Письма в ЖЭТФ 22 (1975) 503-506.
  7. V. A. Fateev, I. V. Frolov, A. S. Shvarts, Quantum Fluctuations of Instantons in the Nonlinear Sigma Model, Nucl. Phys. B154 (1979) 1-20.
  8. A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov, Annals Phys. 120 (1979) 253.
  9. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, Черноголовка, ИТФ им. Л. Д. Ландау, 1995
  10. А. М. Цвелик, Квантовая теория поля в теории конденсированного состояния, М., «Физматлит», 2002.
  11. A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov, Annals of Physics 120 (1979) 253.
  12. М. Сато, М. Дзимбо, Т. Мива, Голономные квантовые поля, М., «Мир», 1983.
  13. М. Годен, Волновая функция Бете, М., «Мир», 1987
  14. Н. М. Боголюбов, А. Г. Изергин, В. Е. Корепин, Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи, М., «Наука», 1992
  15. A. Luther and I. Peschel, Phys. Rev. B12 (1975) 3908; A. Luther, Phys. Rev. B14 (1976) 2153.
  16. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, М. «Мир», 1985.
  17. S. Lukyanov and V. Terras, Nucl. Phys. B654 (2003) 323 [arXiv:hep-th/0206093].
  18. А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, М., «Наука», 1987.
  19. A. M. Tsvelik and P. B. Wiegmann, Exact results in the theory of magnetic alloys, Advances in Physics 32 (1983) 453.
  20. P. B. Wiegmann, An exact solution of the Kondo problem, in: Quantum Theory of Solids, M., Mir 1982.
  21. N. Andrei, K. Furuya, and J. H. Lowenstein, Reviews of Modern Physics, 55 (1983) 331.