Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Дополнительные главы квантовой механики

К.С. Тихонов, М.В. Фейгельман

Это курс лекций по современным разделам квантовой механики, не входящим в стандартные курсы физических факультетов университетов, но активно используемым в теоретических и экспериментальных исследованиях последних 20-30 лет. Содержание естественным образом подразделяется на три части: а) продвинутые квазиклассические методы (адиабатическая фаза Берри, туннелирование Ландау-Зинера, точки поворота в комплексной плоскости), б) фейнмановская формулировка квантовой механики через интегрирование по траекториям и описание на этом языке основных квантовомеханических явлений, и в) квантовая механика открытых систем (формализм матрицы плотности, функционал влияния Фейнмана-Вернона, влияние диссипации на интерференцию и туннелирование).

Программа

(на каждую лекцию — по 3 астрономических часа)
  1. Фазы Берри.
    Адиабатическая эволюция и геометрическая фаза. Связность Берри спиновой системы и блоховских состояний в кристалле. Связь с движением в потенциале решетки: аномальная скорость волнового пакета. Приложения к аномальному эффекту Холла и квазиклассическому квантованию уровней Ландау.
  2. Фейнмановский интеграл по траекториям.
    Интеграл по путям для амплитуды перехода K(x,x') и уравнение Шредингера. Факторизация решения для K(x,x') для квадратичных потенциалов. Явное вычисление для свободного движения и для гармонического осциллятора (с предэкспонентой). Вычисление функциональных детерминантов методом Гельфанда-Яглома.
  3. Матрица плотности и декогерентность.
    Описание смешанных состояний матрицей плотности. Дефазировка и измерения на языке матрицы плотности. Матрица плотности подсистемы и энтропия запутанности. Двухуровневая система и осциллятор, взаимодействующие с тепловой баней.
  4. Туннельные расщепление и распад и «инстантоны».
    Интеграл по путям в мнимом времени. Амплитуда перехода ALR для 2-ямного потенциала, и выражение для нее через интеграл по путям. Экстремальное решение типа «кинк» и флуктуации около него на примере модели потенциала V1(x) = - x2 + x4. Выделение «нулевой моды». Выражение для амплитуды ALR через действие кинка и отношение детерминантов флуктуаций в поле безотражательного потенциала. Задача о распаде метастабильного состояния на примере потенциала V2(x) = x2 – x3. Вычисление мнимой части энергии состояния (т.е. скорости распада) через интеграл по путям. Перевальное решение типа «bounce» и отрицательная мода. Вычисление мнимой части расходящегося интеграла. Выражение для скорости распада через действие кинка и отношение детерминантов флуктуаций в поле безотражательного потенциала.
  5. Функционал влияния Фейнмана-Вернона для матрицы плотности.
    Равновесная (тепловая) матрица плотности. Уравнение эволюции в мнимом времени от 0 до β = 1/T и соответствующий интеграл по путям. Статистическая сумма. Средняя энергия осциллятора при температуре T как результат вычисления ядра KE(x,x',1/T). Вариационный принцип. Неравновесная матрица плотности: интеграл по путям «туда и обратно» по времени. Усреднение по состоянием «среды» и функционал влияния. Среда, состоящая из набора осцилляторов при заданной температуре T. Периодичность по мнимому времени. Вычисление потенциала влияния через функции Грина на контуре «туда и обратно». Среда с линейной («омической») диссипацией. Квантовый аналог уравнения Ланжевена и его классический предел. Функционал влияния в мнимом времени.
  6. Эффект Ландау-Зинера, надбарьерное отражение, комплексные точки поворота.
    Поправки к адиабатическому приближению. Экспоненциально малые эффекты. Связь задач о надбарьерном отражении и задачи Ландау-Зинера. Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости координаты и времени.
  7. Катастрофа ортогональности.
    Многочастичные волновые функции свободных фермионов и внезапное включение локального рассеивателя. Оценка Андерсона для интегралов перекрытия и адиабатическое вычисление. Связь с задачей о поглощении фотона (Fermi-edge singularity) и с подавлением когерентного туннелирования трением.
  8. Диссипация в квантовой механике.
    Примеры квантовых физических задач с диссипацией: туннелирование между вырожденными конфигурациями молекул (аммиак и подобные), движение тяжелой частицы (например, мюона) в металле, квантовая динамика в джозефсоновских контактах, сверхпроводящие кубиты. Два класса задач: а) распад неустойчивого состояния, б) туннелирование между двумя (или многими) вырожденными состояниями. Постановка задачи о распаде для состояния при ненулевой температуре. Распад метастабильного состояния в потенциале V2(x) = a x2 – x3 (с малым a) в присутствии омической диссипации. Переход от квантового туннелирования к классической активации. Общее решение для действия инстантона для диссипативного туннелирования в периодическом потенциале [11]. «Инстантон Коршунова» для задачи о периодической диссипации.

Литература

    Основная литература:

  1. Р. Фейнман, А. Хиббс, «Квантовая механика и интегралы по траекториям».
  2. Р. Фейнман, «Статистическая механика», курс лекций.
  3. Л.В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).
  4. P.C. Martin, E.D. Siggia, and H.A. Rose, Phys. Rev. A 8, 423 (1973).
  5. A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Ann. Phys. 149, 374 (1983).
  6. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том 5 «Статистическая механика», §§1-8.
  7. R. Rosenfelder, «Path Integrals in Quantum Mechanics», https://arxiv.org/abs/1209.1315v4
  8. P.W. Anderson, «Infrared catastrophe in Fermi gases with local scattering potentials», Phys. Rev. Lett. 18, 1051 (1967).
  9. Л.С. Левитов, А.В. Шитов, «Функции Грина. Задачи и решения», задача 27.
  10. M.V. Berry, «Quantal phase factors accompanying adiabatic changes», Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45-57 (1984).
  11. Дополнительная литература:

  12. А.М. Поляков, «Калибровочные поля и струны», ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995 (Глава 4).
  13. Р. Раджараман, «Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля», М.:Мир, 1985 (Глава 5).
  14. C. Callan and S. Coleman, Phys. Rev. D 16 672 (1977); J. Zittarz and J.S. Langer, Phys. Rev. 148, 741 (1966).
  15. R.P. Feyman and F.L. Vernon, Annals of Physics 24, 118 (1963).
  16. A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982).
  17. A. Kamenev and A. Levchenko, Advances in Physics 58, 197 (2009) [arXiv:0901.3586].
  18. С.В. Иорданский, А.М. Финкельштейн, ЖЭТФ 62, 403 (1972); S.V. Iordanskii, A.M. Finkel’stein, J. Low. Temp. Phys. 10, 423 (1973).
  19. «Quantum tunnelling in condensed media», Eds. Yu. Kagan and A.J. Leggett, Elsevier Science Publishing (North Holland), 1992 (сборник обзоров).
  20. I. Affleck, Phys. Rev. Lett. 46, 388 (1981).
  21. А.И. Ларкин, Ю.Н. Овчинников, ЖЭТФ 85, 1510 (1983); ЖЭТФ 86, 719 (1984).
  22. С.Е. Коршунов, ЖЭТФ 92, 1828 (1987).
  23. С.Е. Коршунов, Письма в ЖЭТФ 45, 342 (1987).
  24. G. Sundaram and Q. Niu, «Wave-packet dynamics in slowly perturbed crystals: Gradient corrections and Berry-phase effects», Phys. Rev. B 59, 14915 (1999).
  25. R. Resta, «Manifestations of Berry's phase in molecules and condensed matter», Journal of Physics: Condensed Matter, Volume 12, Number 9.