Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Семинар по квантовой механике

И.В. Побойко, Д.С. Антоненко, Н.А. Степанов

Курс рассчитан в основном на студентов, рассчитывающих в дальнейшем профессионально заниматься теоретической физикой. Он посвящен решению задач по квантовой механике и детальному изучению используемых при этом методов. Особое внимание уделяется тем подходам и задачам, которые не включены (или мало затронуты) в общем курсе теоретической физики МФТИ, как, например, адиабатическое приближение, интегралы по траекториям и топологические свойства фазы Берри. Дополнительной целью курса является подготовка к сдаче экзамена теоретического минимума по квантовой механике, необходимого для учебы на кафедре «Проблемы теоретической физики».

Курс — годовой, читается в течение двух семестров.

Программа

Материалы занятий

  1. Введение в квантовую механику:
    • Операторы и наблюдаемые
    • Уравнение Шрёдингера
    • Двухуровневая система, осцилляции Раби
  2. Одномерное движение. Связанные состояния:
    • Общие свойства стационарных состояний
    • Осцилляторная теорема
    • Состояния в мелких потенциальных ямах
    • Квантовый гармонический осциллятор, лестничные операторы
  3. Одномерное движение. Непрерывный спектр:
    • Плотность потока вероятности
    • Одномерная задача рассеяния
    • Эволюция волновых пакетов
  4. Точно решаемые задачи
    • Двумерные осесимметричные задачи
    • Применение гипергеометрической функции для решения потенциалов специального вида
    • Гармонический осциллятор
  5. Теория возмущений:
    • Поправки к энергиям и волновым функциям
    • Секулярное уравнение, эффективный гамильтониан для почти вырожденной задачи
    • Нестационарная теория возмущений
    • Золотое правило Ферми
  6. Адиабатическое приближение:
    • Медленно меняющийся во времени гамильтониан, адиабатический анзац
    • Фаза Берри
    • Стационарное адиабатическое приближение, «быстрая» и «медленная» подсистемы
  7. Квазиклассическое приближение. Часть 1:
    • Квазиклассическая волновая функция
    • Граничные условия и правило Бора-Зоммерфельда
    • Туннелирование
  8. Квазиклассическое приближение. Часть 2:
    • Условия сшивки квазиклассических функций в матричном виде
    • Туннельное расщепление в двухъямном потенциале
    • Распад метастабильного состояния
    • Связь с адиабатикой и задача Ландау-Зенера
  9. Математические методы квантовой механики:
    • Метод Лапласа на примере движения частицы в постоянном электрическом поле
    • Метод перевала
    • Точное решение задачи Ландау-Зенера
  10. Теория рассеяния. Одночастичная функция Грина:
    • Постановка задачи рассеяния, сечение рассеяния
    • Теория возмущений для функции Грина
    • Формула Борна
    • Рассеяние на малые углы
    • Рассеяние медленных частицы
  11. Теория рассеяния. Фазовая теория:
    • Общие свойства свободного движения в сферически симметричных потенциалах
    • Фазовые сдвиги
    • Разложение плоской волны
    • Фазовая теория рассеяния
    • Применение квазиклассического приближения для вычисления фазовых сдвигов
  12. Матрица плотности:
    • Общие свойства и аппарат матриц плотности
    • «Чистые» и «смешанные» состояния
    • Редуцированная матрица плотности, запутанность
    • Эволюция матрицы плотности
  13. Открытые двухуровневые системы:
    • Спин-бозонная модель
    • Уравнение Линдблада на редуцированную матрицу плотности в приближении Борна-Маркова
    • Времена релаксации и дефазировки
    • Подавление туннелирования за счёт взаимодействия с окружающей средой
  14. Частица, взаимодействующая с окружающей средой:
    • Диссипативная квантовая механика
    • Модель Калдейры-Леггетта
  15. Топологические явления в квантовой механике:
    • Модель SSH
    • Топологические фазы
    • Топологически защищённые краевые состояния
    • Состояния Jackiw-Rebby
  16. Связь фазы Берри и топологии:
    • Топологические изоляторы
    • Кривизна Берри
    • Квантование холловской проводимости, её связь с кривизной Берри
  17. Интеграл по траекториям для квантовой частицы:
    • Выражение для запаздывающего пропагатора квантовой частицы через функциональный интеграл
    • Пропагатор свободной частицы
    • Гауссовы функциональные интегралы. Пропагатор квантового гармонического осциллятора
    • Эквивалентность формулировки через интеграл по траекториям и уравнения Шрёдингера
  18. Инстантоны. Часть 1:
    • Двухъямный потенциал
    • Виковский поворот
    • Метод перевала в функциональном интеграле
    • Вычисление флуктуационного детерминанта через точную диагонализацию
    • Нулевые моды
  19. Инстантоны. Часть 2:
    • Суммирование «разреженного инстантонного газа»
    • Формализм Гельфанда-Яглома для вычисления функциональных детерминантов
  20. Надбарьерное отражение:
    • Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости
    • Явление Стокса
    • Комплексные точки поворота

Литература

  1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика (нерелятивистская теория)", М., Наука, 1989
  2. В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган "Задачи по квантовой механике", М., Наука, 1992
  3. З.Флюгге "Задачи по квантовой механике (в 2 томах)", Мир, 1974
  4. Р.Фейнман, А.Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям"