Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Теория вероятностей

М.Е. Жуковский

Курс предназначен для овладения будущими физиками теоретическими основами теории вероятностей, ее практическими методами и их приложениями к задачам статистической физики, а также задачам обработки результатов случайных процессов. Необходимость такого специализированного курса диктуется длительными наблюдениями профессоров кафедры за результатами прохождения студентами общего курса теории вероятностей, читаемого в МФТИ.

Программа

  1. Вероятностное пространство и случайные величины.
    1. Конечное вероятностное пространство: элементарные исходы, события, вероятность. Вероятность в классической схеме и бернуллиевской схеме. Некоторые основы комбинаторики (числа сочетаний, размещений, перестановок) и подсчет простейших вероятностей.
    2. Произвольное вероятностное пространство: Колмогоровская аксиоматика. Определение σ-алгебры и вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
    3. Случайные элементы — формальное определение. Случайные величины, случайные векторы, действия над случайными векторами. Примеры.
  2. Распределения.
    1. Распределение вероятностей — формальное определение безотносительно случайных элементов. Виды распределений (абсолютно непрерывное и дискретное) и примеры. Распределение случайной величины и случайного вектора.
    2. Характеристики распределений: функция распределения, плотность. Примеры. Основные распределения: распределения Бернулли (модель с монеткой), биномиальное (модель с несколькими монетами), пуассоновское (большое количество монет с малой вероятностью успеха), равномерное (геометрическая модель), гауссовское (нормирование большого количества независимых испытаний), экспоненциальное (моделирование из равномерного распределения; интерпретация — время между последовательными совершениями событий одной и той же природы), распределение Коши (тяжелые хвосты; моделирование с помощью двух нормальных случайных величин), Лапласа (встречается в финансовой математике), логнормальное распределение.
    3. Независимость случайных величин и случайных векторов. Функция распределения и плотность вектора, составленного из независимых компонент. Вычисление вероятностей, ассоциированных с векторами, составленными из независимых величин.
    4. Математическое ожидание (определение только для дискретного и абсолютно непрерывного случаев), дисперсия, ковариация, моменты. Основные свойства математического ожидания, дисперсии и ковариации. Математическое ожидание произведения независимых величин и дисперсия суммы. Подсчет математического ожидания для стандартных распределений. Отсутствие математического ожидания у распределения Коши. Вычисление всех моментов нормального распределения.
  3. Сходимости.
    1. Сходимости почти наверное, по вероятности и в Lp. Закон больших чисел в форме Чебышева, усиленный закон больших чисел.
    2. Сходимости по распределению, критерии. Характеристическая и производящая функция. Характеристическая функция случайного вектора. Вычисление характеристических функций для основных распределений. Вычсиление плотности с помощью характеристической функции. Вычисление моментов с помощью характеристической функции. Вычисление всех факториальных моментов пуассоновского распределения. Метод моментов, метод производящей функции и метод характеристической функции. Теорема о непрерывности. Центральная предельная теорема.
    3. Формула Стирлинга и асимптотическое разложение биномиальных коэффициентов. Предельная теорема Пуассона, локальная и интегральная предельные теоремы.
  4. Гауссовские векторы.
    1. Определение и основные свойства (три эквивалентных определения). Вектор математических ожиданий и матрица ковариаций. Независимость компонент гауссовского вектора. Плотность гауссовского вектора.
    2. Многомерная центральная предельная теорема. Наследование сходимостей. Приложения многомерной центральной предельной теоремы.
  5. Дискретные случайные блуждания.
    1. Определение случайного блуждания, простейшего симметричного случайного блуждания. Подсчет вероятностей. Принцип отражения, числа Каталана. Задача о голосовании.
    2. Распределение максимума, вероятность возвращения в 0 (в том числе и многомерный случай).
    3. Закон повторного логарифма.
  6. Непрерывные случайные блуждания — винеровский процесс.
    1. Случайные процессы с непрерывным временем: определение и конечномерные распределения. Процессы с независимыми приращениями.
    2. Винеровский процесс: два эквивалентных определения. Траектории винеровского процесса. Непрерывность и недифференцируемость. Принцип отражения, распределение максимума (теорема Башелье), прохождение через «ворота», возвращение в 0, закон повторного логарифма.
  7. Стационарные распределения.
    1. Понятие стационарности случайного процесса в узком и широком смысле.
    2. Cтационарные распределения марковских процессов, эргодическая теорема. Примеры.
  8. Дополнительные предельные теоремы.
    1. Центральная предельная теорема в форме Линдеберга, скорость сходимости в ЦПТ (неравенство Бери-Эссеена).
    2. Неравенства больших отклонений (экспоненциальная скорость сходимости в законе больших чисел: простая экспоненциальная оценка в случае существования всех моментов, неравенство Чернова).
    3. Последовательности зависимых случайных величин. Мартингалы с дискретным временем, марковские процессы с дискретным временем (только определения). ЦПТ для марковских процессов, ЦПТ для мартингалов. Неравенства больших отклонений для мартингалов (неравенство Азумы).

Задачи:
Список 1, Список 2, Список 3, Список 4, Список 5, Список 6

Литература

  1. Боровков А.А. "Теория вероятностей", 3-е издание — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
  2. Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей", 8-е издание — М. Эдиториал УРСС, 2005.
  3. Жуковский М.Е., Родионов И.В. "Основы теории вероятностей" — М. МФТИ, 2015.
  4. Севастьянов Б.А. "Курс теории вероятностей и математической статистики" — М. Наука, 1982.
  5. Феллер В. "Введение в теорию вероятностей и ее приложения" — М. Мир, 1967.
  6. Ширяев А.Н. "Вероятность", 4-е издание — М.: МЦНМО, 2007.