Избранные методы теоретической физики

П.Д. Курилович, В.Д. Курилович, А.В. Лункин

Курс по выбору "Избранные методы теоретической физики" предназначен для ознакомления студентов 2 курса, интересующихся теоретической физикой, с рядом относительно простых, но красивых и часто употребляемых теоретических методов, находящих применение в различных областях физики. Задача курса состоит в том чтобы создать условия для профессиональной ориентации студентов-теоретиков на более раннем этапе, чем это достигается курсами общего профиля. Курс состоит из трех частей: ТФКП для физиков, элементы статистической механики и кинетики, дополнительные главы аналитической механики.

Программа

Материалы занятий

Часть I. ТФКП:

1. Базовые сведения из ТФКП: дифференцирование, регулярные функции, формулы Коши-Римана, формула Грина, теорема единственности, аналитическое продолжение. Вычисление интегралов через вычеты — начало.
2. Вычисление интегралов через вычеты. Примеры. Преобразование Фурье. Линейный отклик. Формулы Крамерса-Кронига.
3. Разрезы, многозначные функции и интегралы с ними. Разные примеры.
4. Метод перевала в комплексной плоскости — разные примеры и способы.

Часть II. Стат.физики, спины:

5. Введение в статистическую физику. Фазовые переходы 2 рода. Теорема Голдстоуна. Примеры: цепочка осцилляторов, непрерывный классический ферромагнетик.
6. Модель Изинга в 1D, трансфер-матрица, корреляторы. Отсутствие фазового перехода. Формулировка и ответ: модель Изинга в 2D (и ND).

Часть III. Механика:

7. Быстрое и медленное движение. Маятник Капицы и тому подобное. Адиабатические инварианты.
8. Сечения рассеяния в разных контекстах. Дифференциальное сечение. Сечение захвата (падения на центр). Задачи.

Часть IV. Теория вероятностей:

9. Случайные величины, функция распределения случайной величины. Функция случайной величины как новая случайная величина и её распределение. ЦПТ: примеры и доказательство через Фурье.
10. ЦПТ связь с теоремой Вика. Гаусcов интеграл и корреляторы. Средние от экспоненты и кумулянты. Сокращение «петлевых диаграмм».
11. Случайные матрицы. Унитарный и ортогональный ансамбли. Плотность состояний: вывод вигнеровского полукруга при помощи диаграммного разложения в пределе большого N. Коррелятор уровней: анонс ответа и разница между ансамблями. Где это нужно в физике?

Часть V. Диффузия:

12. Уравнение Ланжевена и его связь с уравнением диффузии. Функция Грина уравнения диффузии. Уравнение Фоккера-Планка: диффузия во внешнем поле. Функция Грина уравнения Фоккера-Планка.
13. Функция Грина уравнения Фоккера-Планка как функциональный интеграл.

Литература

1. Ландау и Лифщиц, "Курс теоретической физики", т.1 "Механика"
2. Коткин и Сербо, "Задачи по классической механике"
3. Р. Фейнман, "Статистическая механика".
4. M. Mehta, "Random matrices".
5. L. Onsager, Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition, Phys. Rev. 65 (1944) 117-149
6. Д.Мэтьюз, Р.Уокер, Математические методы физики, М., Атомиздат, 1972
7. Р. Рихтмайер, Принципы современной математической физики, т. 1,2, М., Мир, 1982
8. Задачи по математическим методам физики. Эдиториал УРСС, Москва, 2009, И.В.Колоколов, Е.А.Кузнецов, А.И.Мильштейн, Е.В.Подивилов, А.И.Черных, Д.А.Шапиро, Е.Г.Шапиро
9. В.И.Арнольд, Лекции об уравнениях с частными производными, Фазис, Москва, 1974