|
Избранные методы теоретической физики
Курс по выбору "Избранные методы теоретической физики" предназначен для ознакомления студентов 2 курса,
интересующихся теоретической физикой, с рядом относительно простых, но красивых и часто употребляемых
теоретических методов, находящих применение в различных областях физики. Задача курса состоит в том
чтобы создать условия для профессиональной ориентации студентов-теоретиков на более раннем этапе, чем
это достигается курсами общего профиля. Курс состоит из трех частей:
ТФКП для физиков,
элементы статистической механики и кинетики,
дополнительные главы аналитической механики.
Программа
Материалы занятий
- Часть I. ТФКП:
- Базовые сведения из ТФКП: дифференцирование, регулярные функции, формулы Коши-Римана, формула Грина, теорема единственности, аналитическое продолжение. Вычисление интегралов через вычеты — начало.
- Вычисление интегралов через вычеты. Примеры. Преобразование Фурье. Линейный отклик. Формулы Крамерса-Кронига.
- Разрезы, многозначные функции и интегралы с ними. Разные примеры.
- Метод перевала в комплексной плоскости — разные примеры и способы.
- Часть II. Стат.физики, спины:
- Введение в статистическую физику. Фазовые переходы 2 рода. Теорема Голдстоуна. Примеры: цепочка осцилляторов, непрерывный классический ферромагнетик.
- Модель Изинга в 1D, трансфер-матрица, корреляторы. Отсутствие фазового перехода. Формулировка и ответ: модель Изинга в 2D (и ND).
- Часть III. Механика:
- Быстрое и медленное движение. Маятник Капицы и тому подобное. Адиабатические инварианты.
- Сечения рассеяния в разных контекстах. Дифференциальное сечение. Сечение захвата (падения на центр). Задачи.
- Часть IV. Теория вероятностей:
- Случайные величины, функция распределения случайной величины. Функция случайной величины как новая случайная величина и её распределение. ЦПТ: примеры и доказательство через Фурье.
- ЦПТ связь с теоремой Вика. Гаусcов интеграл и корреляторы. Средние от экспоненты и кумулянты. Сокращение «петлевых диаграмм».
- Случайные матрицы. Унитарный и ортогональный ансамбли. Плотность состояний: вывод вигнеровского полукруга при помощи диаграммного разложения в пределе большого N. Коррелятор уровней: анонс ответа и разница между ансамблями. Где это нужно в физике?
- Часть V. Диффузия:
- Уравнение Ланжевена и его связь с уравнением диффузии. Функция Грина уравнения диффузии. Уравнение Фоккера-Планка: диффузия во внешнем поле. Функция Грина уравнения Фоккера-Планка.
- Функция Грина уравнения Фоккера-Планка как функциональный интеграл.
Литература
- Ландау и Лифщиц, "Курс теоретической физики", т.1 "Механика"
- Коткин и Сербо, "Задачи по классической механике"
- Р. Фейнман, "Статистическая механика".
- M. Mehta, "Random matrices".
- L. Onsager, Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition, Phys. Rev. 65 (1944) 117-149
- Д.Мэтьюз, Р.Уокер, Математические методы физики, М., Атомиздат, 1972
- Р. Рихтмайер, Принципы современной математической физики, т. 1,2, М., Мир, 1982
- Задачи по математическим методам физики. Эдиториал УРСС, Москва, 2009, И.В.Колоколов, Е.А.Кузнецов, А.И.Мильштейн, Е.В.Подивилов, А.И.Черных, Д.А.Шапиро, Е.Г.Шапиро
- В.И.Арнольд, Лекции об уравнениях с частными производными, Фазис, Москва, 1974
|