\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}

\centerline{Задачи к Лекции 7}
(Литература: [1,6,9], а также: Ю.М.Иванченко и Л.А.Зильберман,
ЖЭТФ {\bf 55}, 2395 (1968); J.Langer and V.Ambegaokar, 
Phys. Rev. {\bf 164}, 498 (1967);
 А.И.Ларкин и Ю.Н.Овчинников, ЖЭТФ {\bf 85?}, 1510 (1983);
 U.Eckern, G.Schoen, V.Ambegaokar, Phys.Rev.B {\bf 30}, 6419 (1984);
 G.Schoen and A.Zaikin, Phys. Reports {\bf 198}, 237 (1990).


%\vspace{1cm}

1. Найти среднее напряжение на джозефсоновском контакте с током
$I < I_c$, возникающее из-за термически индуцированных процессов
проскальзывания фазы (емкостью контакта пренебречь). Температуру
считать малой по сравнению с $E_J$.

2.$^*$  Оценить ширину (по температуре) области сверхпроводящего перехода
в индиевой (In) проволоке  диаметром 0.02 мкм - т.е. область
температур $\Delta T$ ниже $T_c$, в которой линейное сопротивление в режиме
проскальзывания фазы имеет  порядок $\rho_n$.  Выяснить, является энергетический
барьер для процессов проскальзывания фазы одинаковым в двух возможных
экспериментальных реализациях: а) фиксирован ток через проволоку; б)
проволока замкнута в кольцо, внутри которого находится соленоид
с заданным магнитным потоком.

3. Найти в квазиклассическом приближении  при $T=0$
 среднее напряжение  $\bar{V}(I)$ в джозефсоновском контакте 
с $E_J \gg E_C$ и $1/R =0$, от тока  в контакте $I$, при $I_c - I \ll I_c$.

4$^*$. 
а). Для 3-х контактного кольца квантовых контактов где один из контактов
имеет $I_c$ меньше чем у других (при этом на всех контактах
$E_J \gg E_C$) в магнитном поле с $\Phi \approx \Phi_0/2$
 вывести эффективный гамильтониан "спина 1/2" и определить его коэффициенты
(достаточно это сделать с экспоненциальной точностью по $E_J/ E_C$).
\\
б). Найти, чему должна быть равна разность $\delta\Phi = \Phi - \Phi_0/2$ ,
чтобы туннелирование происходило из нижнего уровня одной из квазиклассических
"потенциальных ям" в первый возбужденный уровень другой ямы.

5. Пусть условия такие же как в задаче 4, но все контакты одинаковые.
Выяснить, как изменяется эффективный гамильтониан "спина 1/2",
  если приложить к трем островкам системы различные электрические 
потенциалы (через емкостную связь).


\vspace{1cm}
$^*$ - более сложная задача, считается за две обычные.
 
\end{document}