Семинар по квантовой механике
Двухсеместровый курс ориентирован в основном на студентов, рассчитывающих в дальнейшем профессионально заниматься теоретической физикой. Он посвящен решению задач по квантовой механике и детальному изучению используемых при этом методов. Особое внимание уделяется тем подходам и задачам, которые не включены (или мало затронуты) в общем курсе теоретической физики МФТИ, как, например, адиабатическое приближение, интегралы по траекториям и топологические свойства фазы Берри. Дополнительной целью курса является подготовка к сдаче экзамена теоретического минимума по квантовой механике, необходимого для учебы на кафедре «Проблемы теоретической физики».
Занятия в первом семестре проводятся также для студентов ОП КНМУ.
Программа
Сайт курса. Материалы занятий
- Введение в квантовую механику:
- Операторы и наблюдаемые
- Уравнение Шрёдингера
- Двухуровневая система, осцилляции Раби
- Одномерное движение. Связанные состояния:
- Общие свойства стационарных состояний
- Осцилляторная теорема
- Состояния в мелких потенциальных ямах
- Квантовый гармонический осциллятор, лестничные операторы
- Одномерное движение. Непрерывный спектр:
- Плотность потока вероятности
- Одномерная задача рассеяния
- Эволюция волновых пакетов
- Точно решаемые задачи
- Двумерные осесимметричные задачи
- Применение гипергеометрической функции для решения потенциалов специального вида
- Гармонический осциллятор
- Теория возмущений:
- Поправки к энергиям и волновым функциям
- Секулярное уравнение, эффективный гамильтониан для почти вырожденной задачи
- Нестационарная теория возмущений
- Золотое правило Ферми
- Адиабатическое приближение:
- Медленно меняющийся во времени гамильтониан, адиабатический анзац
- Фаза Берри
- Стационарное адиабатическое приближение, «быстрая» и «медленная» подсистемы
- Квазиклассическое приближение. Часть 1:
- Квазиклассическая волновая функция
- Граничные условия и правило Бора-Зоммерфельда
- Туннелирование
- Квазиклассическое приближение. Часть 2:
- Условия сшивки квазиклассических функций в матричном виде
- Туннельное расщепление в двухъямном потенциале
- Распад метастабильного состояния
- Связь с адиабатикой и задача Ландау-Зенера
- Математические методы квантовой механики:
- Метод Лапласа на примере движения частицы в постоянном электрическом поле
- Метод перевала
- Точное решение задачи Ландау-Зенера
- Теория рассеяния. Одночастичная функция Грина:
- Постановка задачи рассеяния, сечение рассеяния
- Теория возмущений для функции Грина
- Формула Борна
- Рассеяние на малые углы
- Рассеяние медленных частицы
- Теория рассеяния. Фазовая теория:
- Общие свойства свободного движения в сферически симметричных потенциалах
- Фазовые сдвиги
- Разложение плоской волны
- Фазовая теория рассеяния
- Применение квазиклассического приближения для вычисления фазовых сдвигов
- Матрица плотности:
- Общие свойства и аппарат матриц плотности
- «Чистые» и «смешанные» состояния
- Редуцированная матрица плотности, запутанность
- Эволюция матрицы плотности
- Открытые двухуровневые системы:
- Спин-бозонная модель
- Уравнение Линдблада на редуцированную матрицу плотности в приближении Борна-Маркова
- Времена релаксации и дефазировки
- Подавление туннелирования за счёт взаимодействия с окружающей средой
- Частица, взаимодействующая с окружающей средой:
- Диссипативная квантовая механика
- Модель Калдейры-Леггетта
- Топологические явления в квантовой механике:
- Модель SSH
- Топологические фазы
- Топологически защищённые краевые состояния
- Состояния Jackiw-Rebby
- Связь фазы Берри и топологии:
- Топологические изоляторы
- Кривизна Берри
- Квантование холловской проводимости, её связь с кривизной Берри
- Интеграл по траекториям для квантовой частицы:
- Выражение для запаздывающего пропагатора квантовой частицы через функциональный интеграл
- Пропагатор свободной частицы
- Гауссовы функциональные интегралы. Пропагатор квантового гармонического осциллятора
- Эквивалентность формулировки через интеграл по траекториям и уравнения Шрёдингера
- Инстантоны. Часть 1:
- Двухъямный потенциал
- Виковский поворот
- Метод перевала в функциональном интеграле
- Вычисление флуктуационного детерминанта через точную диагонализацию
- Нулевые моды
- Инстантоны. Часть 2:
- Суммирование «разреженного инстантонного газа»
- Формализм Гельфанда-Яглома для вычисления функциональных детерминантов
- Надбарьерное отражение:
- Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости
- Явление Стокса
- Комплексные точки поворота
Литература
- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика (нерелятивистская теория)", М., Наука, 1989
- В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган "Задачи по квантовой механике", М., Наука, 1992
- З.Флюгге "Задачи по квантовой механике (в 2 томах)", Мир, 1974
- Р.Фейнман, А.Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
|