Уравнения математической физики
Уравнения математической физики (семинар)
В настоящем курсе обсуждаются математические задачи, возникающие в различных физических ситуациях, а также способы их решения. Как правило, речь идет о дифференциальных уравнениях, как обыкновенных, так и в частных производных, с начальными и граничными условиями. Рассматриваются отдельные вопросы, связанные с интегральными уравнениями. Обсуждаются линейные задачи, анализ которых ведется на языке функций Грина. Представлены сведения об основных специальных функциях, их свойства, включая поведение в комплексной плоскости и асимптотическое поведение. Приводятся основные сведения по нелинейным динамическим системам, включая теорию устойчивостей, решения солитонного типа и анализ интегрируемых уравнений. Приводятся способы решения задач (усредненные уравнения, пограничный слой), важные с точки зрения приложений. Обсуждаются интегральные уравнения. Даются основы теории групп.
Курс — годовой, читается в течение двух семестров.
Программа
- Линейные эволюционные уравнения.
- Уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.
- Уравнения порядка выше первого с постоянными коэффициентами.
- Матричное уравнение с постоянными коэффициентами.
- Преобразование Лапласа в эволюционных задачах.
- Интегральные уравнения Вольтерры.
- Неоднородная по времени релаксация.
- Статические линейные поля.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения с граничными условиями.
- Поведение решения вблизи особых точек.
- Задачи на собственные значения.
- Электростатические задачи.
- Двумерные гармонические функции.
- Собственные функции уравнения Шрёдингера.
- Уравнение Шрёдингера в Кулоновском потенциале.
- Специальные функции.
- Гамма-функция Эйлера.
- Функция Эйри.
- Функции Бесселя.
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Эрмита.
- Вырожденная гипергеометрическая функция.
- Динамические линейные поля.
- Волновое движение в однородной среде.
- Излучение.
- Уравнение на огибающую.
- Уравнение Гельмгольца.
- Уравнение диффузии.
- Уравнение Стокса.
- Временно́е уравнение Шрёдингера.
- Автономные системы.
- Фиксированные точки и предельные циклы.
- Уравнение Ван дер Поля.
- Бифуркации.
- Модель Лоренца.
- Лагранжевы уравнения.
- Релаксационные уравнения.
- Полевые релаксационные уравнения.
- Сингулярная теория возмущений.
- Решение вблизи особой точки.
- Пограничный слой.
- Приближенные и специальные решения.
- Параметрическая неустойчивость.
- Метод усреднения и медленная эволюция.
- Усредненные уравнения для волн.
- Автомодельные решения.
- Движение фронта.
- Нелинейные полевые уравнения.
- Уравнения Хопфа и Бюргерса.
- Нелинейное уравнение Шрёдингера.
- Уравнение Гросса-Питаевского.
- Уравнения Эйлера и Навье-Стокса.
- Интегрируемые уравнения: Уравнение Кортевега-де-Фриза, Уравнение синус-Гордон, Одномерное нелинейное уравнение Шрёдингера.
- Интегральные уравнения.
- Уравнения Фредгольма.
- Уравнения с симметричными ядрами.
- Некоторые нелинейные интегральные уравнения.
- Сингулярные интегральные уравнения.
- Теория групп.
- Конечные группы.
- Представления группы.
- Группы и алгебры Ли.
- Представления групп Ли.
Конспект
Литература
- Г. И. Баренблатт,
Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика,
Гидрометеоиздат, Ленинград, 1982.
- Г. Бейтмен и А. Эрдейи,
Высшие трансцендентные функции,
Лань, СПб, 2001.
- Владимиров В. С.,
Уравнения математической физики,
Наука, Москва, 1981.
- Заславский Г.М., Сагдеев Р.З.,
Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса,
Наука, Москва, 1988.
- Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П.,
Теория солитонов, Наука, Москва, 1980.
- Колоколов И. В. и др.,
Задачи по математическим методам физики,
УРСС, Москва, 2009.
- Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного,
Лань, СПб, 2002.
- Морс Ф.М., Фешбах Г.,
Методы теоретической физики. Том 1,
ИЛ, Москва, 1958.
- Морс Ф.М., Фешбах Г.,
Методы теоретической физики, Том 2,
ИЛ, Москва, 1960.
- Мусхелишвили Н.И.,
Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике (3-е изд.),
Наука, Москва, 1968.
- Наймарк М.А.,
Теория представлений групп,
УРСС, Москва, 2010.
- Найфэ А.,
Методы возмущений,
Мир, Москва, 1976.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А.,
Уравнения математической физики (5-е изд.),
Наука, Москва, 1977.
- Шапиро Д. А.,
Конспект лекций по математическим методам физики, части 1,2,
Изд. НГУ, Новосибирск, 2004.
|