РУС/ENG    

Элементы квантовой теории поля

Н.А. Степанов

В рамках курса обсуждаются основные вопросы, возникающие при изучении квантовой теории поля. На примере теории свободного бозона в четырёхмерном пространстве-времени демонстрируется подход канонического квантования теорий поля, а на примере возмущения вида «фи-в-четвёртой» выводятся основные правила диаграммной техники Фейнмана в операторном формализме, а также в формализме интеграла по траекториям. В курсе также обсуждается возникновение и элементарные применения аппарата квантовой теории поля в задачах физики твёрдого тела, включая элементы многочастичной квантовой механики и вторичного квантования, а также квантование колебаний одноатомного трёхмерного кристалла.

Курс рассчитан на студентов 3 курса ФОПФ МФТИ и не предполагает никакого предварительного знания помимо базового курса квантовой механики. Для закрепления материала к каждой лекции прилагается набор из нескольких задач.

Программа

Материалы занятий

1. Элементы классической теории поля:
   • Лагранжев и гамильтонов формализм классической механики.
   • Связь скобок Пуассона в классической механике и коммутаторов в квантовой механике. Теорема Эренфеста.
   • Обобщение изложенных методов на классическую теорию поля на примере теории свободного бозона.
2. Квантование поля Клейна-Гордона:
   • Разложение полевых операторов по набору решений классических уравнений движения.
   • Алгебра бозонных операторов рождения и уничтожения. Поле как совокупность частиц.
   • Энергия вакуума, ультрафиолетовые расходимости и эффект Казимира.
3. Вторичное квантование и многочастичная квантовая механика:
   • Постановка задачи многочастичной квантовой механики. Бозоны и фермионы, детерминант Слэтера.
   • Устройство многочастичного гильбертова пространства, фоковское пространство. Представление чисел заполнения.
   • Алгебра операторов рождения и уничтожения для бозонов и фермионов. Описание задач многочастичной квантовой механики на языке квантовой теории поля.
4. Модели сильной связи и графен:
   • Блоховские волновые функции и состояния Ванье для кристаллов.
   • Прыжковые (туннельные) гамильтонианы в представлении вторичного квантования.
   • Спектр, закон дисперсии и структура низкоэнергетических возбуждений графена в модели сильной связи. Долинное вырождение, «дираковские фермионы» в графене.
5. Фононы:
   • Квантование трёхмерной одноатомной решётки, фононы. Продольные и поперечные моды. Описание колебаний в рамках аппарата квантовой теории поля.
   • Деформационный потенциал как модель взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами.
   • Экранировка кулоновского взаимодействия в рамках приближения Томаса-Ферми.
6. Функции Грина:
   • Запаздывающая, опережающая и фейнмановская функции Грина, вычисления их в рамках теории свободного бозона.
   • Теорема Вика для вакуумных средних полевых операторов.
7. Диаграммная техника:
   • Возникновение диаграммной техники на примере теории «фи-в-четвёртой».
   • Симметрийные комбинаторные множители, связанные с фейнмановскими диаграммами. Экспоненциирование и сокращение вакуумных пузырей.
   • Связь вакуумных пузырей и энергии основного состояния.
   • Блочное суммирование. Уравнение Дайсона.
8. Функциональный интеграл:
   • Гауссов функциональный интеграл и теорема Вика. Функциональный детерминант.
   • Выражение для фейнмановского пропагатора квантовой теории поля через функциональный интеграл для теории Клейна-Гордона.
9. Функциональный интеграл для многочастичной квантовой механики:
   • Когерентные состояния для бозонов.
   • Грассмановы числа и когерентные состояния для фермионов.
   • Вывод функционального интеграла для вторично-квантованных гамильтонианов.
10. Слабонеидеальный бозе-газ:
    • Большой канонический ансамбль, химический потенциал.
    • Бозе-конденсация и спонтанное нарушение симметрии. Аномальные средние.
11. Элементы теории Ландау фазовых переходов:
    • Разложение свободной энергии вблизи фазового перехода по степеням параметра порядка и градиентам. Выражение свободной энергии через функциональный интеграл.
    • Разложение вблизи седла со спонтанно нарушенной симметрией на примере комплексного параметра порядка. Теорема Голдстоуна, звук.
    • Флуктуационный вклад в теплоёмкость.

Литература

1. М.Е. Пескин, Д.В. Шрёдер, "Введение в квантовую теорию поля", 2001.
2. Л.С. Левитов, А.В. Шитов, "Функции Грина. Задачи и решения.", ФИЗМАТЛИТ, 2003.
3. Э. Зи, "Квантовая теория поля в двух словах", 2009.
4. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, "Методы квантовой теории поля в статистической физике", Физматгиз, 1962.
5. Alexander Altland and Ben Simons, "Condensed Matter Field Theory" (Second Edition), Cambridge University Press, 2010.