Основы теории гравитации
Курс состоит из трёх неравных частей. Первая часть посвящена математическому аппарату, использующемуся для построения теории гравитации – дифференциальной геометрии. Эта часть занимает около трети всего курса. Студенты должны освоить дифференциальную геометрию криволинейных координат, вложенных в пространство Евклида; принцип описания математического описания пространства в ненулевой кривизной – пространства Римана, а также основные свойства тензора Римана; математический аппарат дифференциальных форм.
Вторая, самая объёмная и занимающая половину курса часть посвящена собственно теории гравитации. Здесь, во-первых, предполагается изучение движение точечной частицы во внешнем гравитационном поле. Изучаются эффекты смещения перигелия финитного движения в поле точечного тяготеющего тела, красное смещение частоты испущенных квантов в гравитационном поле, линзирования и микролинзирования – на этих эффектах построены методы проверки общей теории относительности. Во-вторых, рассматривается уравнение для распределения гравитационного поля – уравнение Эйнштейна и действие Гильберта для него. Рассматривается сферически-симметричное гравитационное поле, метрика Шварцшильда и координаты Керра. Вводится понятие чёрной дыры. В-третьих, рассматривается теория слабых гравитационных волн и их излучение.
Последняя часть курса посвящена космологическим моделям Вселенной. Рассматривается модель Фридмана для однородной Вселенной, вводится постоянная Хаббла. Рассматривается инфляционная модель для ранней стадии развития Вселенной, обсуждается природа реликтового излучения.
Программа
- Криволинейные координаты в пространстве Евклида.
- Определение вектора и скаляра.
- Ковариантная производная. Символ Кристоффеля.
- Векторные операции дифференцирования, лапласиан.
- Вариация криволинейных координат.
- Тензоры кривизны и кручения.
- Гладкие многообразия.
- Связность. Метрика, согласованная со связностью.
- Тензора кривизны и кручения.
- Риманово пространство. Свойства тензора кривизны. Координаты Римана.
- Частица в гравитационном поле.
- Принцип эквивалентности.
- Уравнение движения частицы в гравитационном поле.
- Действие для точечной частицы.
- Промежутки времени и расстояния в гравитационном поле.
- Предел слабого гравитационного поля. Закон Ньютона.
- Красное смещение.
- Тензор энергии-импульса материи.
- Общее определение тензора энергии-импульса материи.
- Действие для электромагнитного поля. Уравнения динамики электромагнитного поля в кривом пространстве.
- Вычисление тензора энергии-импульса для точечных частиц и электромагнитного поля.
- Модельные виды тензора энергии-импульса для изотропных сред: пылевидная материя, среда с давлением, фотонный газ. Уравнение состояния.
- Уравнение Эйнштейна.
- Обобщение уравнения Ньютона на уравнение Эйнштейна. Тензор Эйнштейна.
- Связь уравнения Эйнштейна с тензором кривизны.
- Действие Гильберта.
- Псевдо-тензор энергии-импульса гравитационного поля.
- Слабое гравитационное поле.
- Статическое гравитационное поле.
- Стационарное гравитационное поле.
- Отклонение и задержка луча в слабом гравитационном поле.
- Эффект линзирования.
- Центрально-симметричное гравитационное поле.
- Определение вида метрики.
- Установление вида необходимых компонент уравнения Эйнштейна.
- Получение метрики Шварцшильда.
- Гравитационный дефект массы.
- Движение в поле гравитирующих масс.
- Движение релятивисткой частицы в кулоновом поле.
- Прецессия перигелия орбиты в гравитационном поле.
- Прецессия угловых моментов.
- Излучение гравитационных волн.
- Гармоническая калибровка, гармоническая калибровка для слабого гравитационного поля.
- Псевдо-тензор энергии-импульса в квадратичном приближении по слабому гравитационному полю.
- Уравнение Гельмгольца с источником на метрику.
- Гравитационная волна в пустоте. Поперечная калибровка. Поляризации гравитационной волны.
- Квадрупольное излучение гравитационной волны. Распределение по углам и полная интенсивность.
- Дифференциальные формы.
- Произвольный базис. Ортонормированный базис.
- Внешнее умножение дифференциальных форм.
- Интегрирование дифференциальных форм.
- Получение форм связности из метрики.
- Запись уравнение дифференциальной геометрии через дифференциальные формы.
- Космологическая модель Фридмана.
- Изотропное пространство: виды метрики для замкнутой, открытой и плоской геометрий.
- Вид тензора кривизны, его матричные элементы.
- Постоянная Хаббла. Движение свободной частицы. Красное смещение. Реликтовое излучение.
- Уравнения Фридмана.
- Уравнения Фридмана.
- Решения уравнения Фридмана для различных уравнений состояния вещества.
- Тёмная энергия: Λ-член в уравнении Эйнштейна.
Литература
- Wald R. M. General relativity. – University of Chicago press, 2010.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – 1988.
|