Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Современная гидродинамика

Г.Е. Фалькович, И.В. Колоколов

Данный курс содержит необходимый минимум сведений о течениях жидкостей, который должен знать каждый физик и математик.
Его основой целью является развитие физической интуиции в гидродинамических задачах. Также слушатель овладеет искусством оценок всевозможных параметров течений, возникающих в самых разных ситуациях, от биологии и нанофизики до астрофизики и оптоволоконных систем связи. Мы поймем, как возникают порывы ветра, почему самолеты не падают с небес и почему вода выливается из перевернутого стакана. Наш курс охватывает течения от очень вязких, таких, как возмущения жидкостей, создаваемые плавающими бактериями и токи электронной жидкости в графене до предельно турбулентных потоков нефти по трубопроводам и водяного пара в облаках.
Курс не предполагает предварительного знакомства с предметом и требует только знания основ векторного анализа.

Программа

Часть 1.

  • Определения и основные уравнения идеальной жидкости. Непрерывность среды, число Деборы, непрерывные потоки и Задача тысячелетия на один миллион долларов.
  • Гидростатика и атмосфера Земли. Уравнения Эйлера идеальной гидродинамики.
  • Законы сохранения и потенциальные течения. Потоки энергии и импульса, законы Бернулли. Теорема Кельвина – новый тип закона сохранения. Конформно инвариантные потоки.
  • Движение сквозь жидкость. Присоединенная масса – первая перенормировка в физике. Квазиимпульс и импульс. Лучший способ плыть. Парадокс обратимости.
  • Внутреннее трение и вязкость. Вязкий тензор напряжений. Уравнение Навье-Стокса. Законы подобия, число Рейнольдса и проектирование промышленных установок. Электроны в графене и парадокс Стокса.
  • Вязкость и первая аномалия в физике. Пограничный слой и отрывные течения. Сопротивление и подъемная сила. Как кумулятивный снаряд пробивает броню танка. Метаморфозы течений с ростом числа Рейнольдса.
  • Неустойчивости. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Энергетический критерий. Закон Ландау.
  • Возбуждение турбулентности в неустойчивой и устойчивой системах. Турбулентный каскад. Турбулентные течения в трубах и реках.
  • Перемешивание ламинарное и перемешивание турбулентное. Как быстро инъекция распространяется по организму потоком крови?

Часть 2.

  • Звук. Гамильтониан звуковых волн. Квадратичное приближение и нормальные переменные. Нелинейные эффекты, вычисление матричных элементов нелинейного взаимодействия волн. [2].
  • Одномерная газовая динамика. Характеристики. Инварианты Римана. Метод годографа. Опрокидывание простых волн. Ударные волны. Разрывы в начальных условиях. Теория "мелкой воды". Уравнение Бюргерса. [3].
  • Волны на свободной поверхности. Лагранжиан потенциальных несжимаемых течений со свободной поверхностью в общем виде. Пузыри и капли. Канонические переменные. Закон дисперсии поверхностных волн. Асимптотическое разложение гамильтониана по степеням малого параметра нелинейности. Конкуренция дисперсии и нелинейности в бегущей волне, уравнение Кортевега-де-Вриза, солитоны. Конформные переменные в плоской задаче со свободной границей. Задача о возбуждении волн ветром. [3, 2, 7, 8, 12, 13, 6].
  • Нелинейное резонансное взаимодействие волн. Редукция гамильтонианов. Задача волн. Взрывная неустойчивость. Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) для огибающей слабонелинейной квазимонохроматической волны. Волновые коллапсы. Слабонадкритические неустойчивости, образование структур. Волновая турбулентность. Кинетическое уравнение. Каскад энергии и волнового действия. [2, 6, 9, 10].
  • Вихревые структуры в идеальной жидкости. Вихревые листы, неустойчивость тангенциального разрыва. Двумерные течения с кусочно-постоянной завихренностью. Тонкие вихревые нити в пространстве и точечные вихри в плоскости. Гамильтониан и динамика точечных вихрей, применение ТФКП. Закон дисперсии для малых возмущений прямой вихревой нити. Неустойчивость Кроу двух антипараллельных вихревых нитей. Проблема образования конечно-временных особенностей из гладких начальных данных в решениях уравнения Эйлера. [6].
  • Вязкая жидкость. Движение вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами. Закон подобия. Течения при малых числах Рейнольдса. Обтекание шара, формула Стокса. Обтекание цилиндра, уравнение Осеена. Ламинарный след. Ламинарный пограничный слой, уравнения Прандтля. Теплопроводность в жидкости. Свободная конвекция. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости. [3].
  • Сверхтекучая гидродинамика. Спектр элементарных возбуждений в квантовой бозе-жидкости и явление сверхтекучести. Двухскоростная гидродинамика. Квантованные вихревые нити. Вихревая решетка, волны Ткаченко. Сверхтекучая турбулентность. Слабо неидеальный бозе-газ при нуле температур, уравнение Гросса-Питаевского. Неустойчивость конденсата и коллапс волновой функции в случае притяжения. [4, 5, 11].

Литература

  1. Г.Е. Фалькович, Современная гидродинамика. Краткий курс. (R&C Dynamics, Москва-Ижевск, 2018).
  2. В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, Успехи Физ. Наук 167, 1137 (1997).
  3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Гидродинамика, (Москва, Наука, 1988).
  4. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2.
  5. И.М. Халатников, Теория сверхтекучести, (Москва, Наука, 1971).
  6. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, (Москва, Наука, 1980).
  7. A. I. Dyachenko, Y. V. L'vov, and V. E. Zakharov, Physica D 87, 233 (1995).
  8. А.И. Дьяченко, В.Е. Захаров, Е.А. Кузнецов, Физика Плазмы 22, 916 (1996).
  9. A.M. Balk, Physica D 139, 137 (2000).
  10. A.N. Pushkarev, V.E. Zakharov, Physica D 135, 98 (2000).
  11. С.К. Немировский, В.В. Лебедев, ЖЭТФ 84, 1729 (1983).
  12. V. P. Ruban and J. J. Rasmussen, Phys. Rev. E 68, 056301 (2003).
  13. V. P. Ruban, Phys. Rev. E 70, 066302 (2004); Phys. Lett. A 340, 194 (2005). Phys. Rev. E 78, 066308 (2008).