Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Избранные вопросы теоретической физики

Д.С. Любшин

Курс служит "введением в чтение научной периодики" и занимает промежуточное место между семинаром по литературе и стандартным лекционным. От студентов требуется полное понимание статей, помеченных в приведенном ниже списке как "основные тексты" (как результатов, так и техник - на уровне способности решать близкие задачи). Все необходимые предварительные сведения и нетривиальные моменты оригинальных работ рассказываются на лекциях.

Программа

Лекции 1-2. Численные результаты в теории перколяции.
Основной текст: M. E. J. Newman, R. M. Ziff, "Efficient Monte Carlo Algorithm and High-Precision Results for Percolation", Phys.Rev.Lett. 85, 4104 (2000).
Перколяция. Критическая точка и критическое поведение основных величин. Эффективность метода Монте-Карло в тривиальной редакции. Варианты алгоритмов union-find. Объединение по высоте и рангу и сжатие путей, union-find по Тарьяну. Экстраполяция критической концентрации. Варианты определений xc(L) и их размерный скейлинг. Модификации алгоритмов для тора.
См. также:
M. E. J. Newman, R. M. Ziff, "Fast Monte Carlo algorithm for site or bond percolation", Phys.Rev. E64, 016706 (2001).
D. Stauffer, A. Aharony, "Introduction To Percolation Theory", Taylor & Francis, 1994.
Задачи: Problems-1.pdf

Лекции 3-5. Метод реплик.
Основной текст: D. Sherrington, S. Kirkpatrick, "Solvable model of a spin-glass", Phys.Rev.Lett. 35, 1792 (1975).
Распределение Гиббса, статистическая сумма, свободная энергия. Модель Изинга. Ферромагнитный кластер. Метод среднего поля. Преобразование Хаббарда-Стратоновича. Метод перевала. Модель Шеррингтона-Киркпатрика (SK). Метод реплик. Вычисление реплично-симметричной свободной энергии. Фазовая диаграмма модели SK. Проблемы решения при низких температурах и качественная картина нарушения репличной симметрии.
См. также:
Vik. S. Dotsenko, "Introduction to the Replica Theory of Disordered Statistical Systems", CUP, 2000.
Вик. С. Доценко, "Физика спин-стекольного состояния", УФН 163, 1 (1993).
Задачи: Problems-2.pdf

Лекции 6-7. Шенноновская ёмкость графа.
Основной текст: L. Lovasz, "On the Shannon Capacity of a Graph", IEEE Transactions on Information Theory IT-25, 1 (1979).
Шенноновская ёмкость канала (с нулевой допустимой ошибкой). Её геометрические оценки и оценки посредством покрытия кликами. Дробные вершинные упаковки. Тэта-функция Ловаса. Её спектральные характеризации. Использование симметрий графа канала. Вычисления для циклов и графа Петерсена.
См. также:
D. Knuth, "The Sandwich theorem", Electronic J. Comb. 1 (1994).
S. Vempala, "An Eye for Elegance", ранее на www.cc.gatech.edu/~vempala.
Задачи: Problems-3.pdf

Лекция 8. Спиновый лёд.
Основной текст: C. Castelnovo, R. Moessner, S. L. Sondhi, "Magnetic Monopoles in Spin Ice", Nature 451, 42 (2008).
Пирохлорная решетка. Гамильтониан спинового льда. Экспериментальные данные для энтропии и фазовой диаграммы в магнитном поле. Разделение магнитных зарядов и магнитно-кулоновский гамильтониан. Энтропия в моделях типа льда. Магнитные монополи как элементарные возбуждения. Спиновый лёд в магнитном поле.
Задачи: Problems-4.pdf

Лекции 9-11. Состояния с валентными связями в одномерных антиферромагнетиках.
Основной текст: I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, H. Tasaki, "Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets", Phys.Rev.Lett. 59, 799 (1987).
Квантовый спин. Сложение моментов. Гамильтониан Гейзенберга. Магноны и Бете-анзац в одномерном случае для спина 1/2. Антиферромагнитный случай для спина 1. Гамильтониан Majumdar-Ghosh и его основные состояния. Гамильтониан AKLT и его основное состояние. Вычисление энергии и спиновых корреляторов в AKLT-случае. Модифицированные гамильтонианы и вариационные волновые функции. Эффекты на крае отрезка.
См. также:
A. Auerbach, "Interacting Electrons and Quantum Magnetism", Springer-Verlag, 1994 (гл. 8).
I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, H. Tasaki, "Valence bond ground states in isotropic quantum antiferromagnets", Comm. Math. Phys. 115, 477 (1988).
Задачи: Problems-5.pdf

Лекции 12-13. Разветвлённые полимеры, суперсимметрия, размерная редукция.
Основной текст: J. Cardy, "Lecture on Branched Polymers and Dimensional Reduction", cond-mat/0302495 (2003).
Модель разветвлённых полимеров. Модель газа твёрдых шаров. Грассманова алгебра и вычисления в ней. Суперсимметричный газ твёрдых шаров. Вириальное разложение в суперсимметричном случае. Вычисление Бриджеса-Имбри. Результаты для размерностей 2, 3, 4. Нули Ли-Янга и гипотеза Паризи-Сурла.
См. также:
D. Brydges, J. Imbrie, "Branched Polymers and Dimensional Reduction", Ann. Math. 158, 1019 (2003).
Задачи: Problems-6.pdf

Лекция 14. Точные выборки в марковских цепях.
Основной текст: J. G. Propp, D. B. Wilson, "Coupling from the past: a user's guide", Microsurveys in Discrete Probability 41, 181 (1998).
Марковские цепи. Стационарные распределения. Метод MCMC. Точные выборки для "чёрных ящиков". Метод CFTP по Проппу-Уилсону. Монотонные модели и их вариации. Газ твёрдых шаров на графе. Выборки в модели жёстких гексагонов при разных значениях хим. потенциала.
См. также:
M. Luby, E. Vigoda, "Approximately counting up to four", Proc. of ACM Symposium on Theory of Computing 682 (1997).
J. G. Propp, D. B. Wilson, "Exact sampling with coupled Markov chains and applications to statistical mechanics", Random Structures and Algorithms 9, 223 (1996).
Задачи: Problems-7.pdf