РУС/ENG    

Функциональные методы в теории неупорядоченных систем

М.А. Скворцов

Курс лекций посвящен современным методам описания неупорядоченных систем, основанным на технике функционального интегрирования. Предполагается знание студентами квантовой механики в объеме курса Ландау и Лифшица и владение навыками диаграммной техники. Вводные лекции содержат обзор квантовых поправок в теории электронного транспорта в мезоскопических системах и теории случайных матриц. Основная часть курса содержит последовательное изложение метода суперсимметричной сигма-модели в применении к неупорядоченным металлам. Подробно рассматривается процедура вывода сигма-модели для различных классов симметрии и ее пертурбативный анализ. Непертурбативные эффекты изучаются на примере прелокализованных состояний и точного решения квазиодномерной локализации. В заключительной части курса кратко излагается келдышевская техника для неравновесных систем и основанный на ней сигма-модельный подход. В процессе изучения курса у студентов формируются навыки работы с различными типами нелинейных сигма-моделей, которые в настоящее время являются стандартными средствами для описания квантового транспорта в неупорядоченных системах.

Программа

1. Вводная лекция. Квантовые поправки.
   • Теория случайных матриц; область применимости.
   • Диаграммная техника для случайных матриц.
   • Вигнеровский полукруг для плотности состояний.
   • Крестовая диаграммная техника для неупорядоченного металла.
   • Формула Друде.
   • Однопетлевая квантовая поправка к проводимости.
   • Квантовые поправки к парному коррелятору уровней (Альтшулер–Шкловский [6]).
   • Зачем нужна σ-модель.
2. Теория случайных матриц. Взгляд математика [2].
   • Отталкивание уровней.
   • Совместная функция распределения собственных значений.
   • Метод ортогональных полиномов.
   • Распределение ближайших соседей.
   • Флуктуации числа уровней в полосе.
   • Нестандартные ансамбли случайных матриц.
3. Грассмановы переменные. Основы суперсимметричного подхода [1].
4. Суперсимметричная σ-модель для GUE [3,1].
   • Вигнеровский полукруг. σ-модель для парного коррелятора.
5. Суперсимметричная σ-модель. Продолжение.
   • Парный коррелятор для GUE - интегрирование по седловому многообразию.
   • Суперсимметричная σ-модель для неупорядоченного металла [1].
6. Суперсимметричная σ-модель для неупорядоченного металла [1].
   • Продолжение вывода.
   • Диффузоны и купероны.
   • Нульмерный предел и теория случайных матриц.
   • Роль "южного полюса" фермионной сферы [7].
7. Аномально локализованные состояния [8,4].
8. Плотность состояний на нижнем уровне Ландау в присутствии беспорядка [9].
9. Поглощение энергии для зависящих от времени случайных матриц [10].
   • Параметрическая статистика уровней.
   • Два режима поглощения.
   • Адиабатический предел.
   • Формула Кубо.
   • Келдышевская техника для неравновесных систем [11,12].
10. Келдышевская σ-модель для зависящих от времени случайных матриц [13,14]. Квантовая поправка к омической диссипации [14].

Литература

1. K.B.Efetov, "Supersymmetry in Disorder and Chaos", Cambridge University Press, New York, 1997.
2. M.L.Mehta, "Random Matrices", Academic Press, Boston, 1991.
3. A.D.Mirlin, "Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi'. Course CXLIII", eds. G.Casati, I.Guarneri and U.Smilansky, IOS Press, Amsterdam, 2000, pp.223-298 [cond-mat/0006421].
4. A.D.Mirlin, Phys. Rep. 326, 259 (2000) [cond-mat/9907126].
5. T.Guhr, A.Mueller-Groeling, H.A.Weidenmueller, Phys. Rep. 299, 189 (1998) [cond-mat/9707301].
6. Б.Л.Альтшулер, Б.И.Шкловский, ЖЭТФ 91, 220 (1986).
7. A.V.Andreev and B.L.Altshuler, Phys. Rev. Lett. 75, 902 (1995); A.V.Andreev, B.D.Simons, and B.L.Altshuler, J. Math. Phys. 37, 4968 (1996).
8. B.A.Muzykantskii and D.E.Khmelnitskii, Phys. Rev. B 51, 5480 (1995).
9. E.Brezin, D.I.Gross, and C.Itzykson, Nucl. Phys. B 235, 24 (1984).
10. M. Wilkinson, J. Phys. A 21, 4021 (1988).
11. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, "Физическая кинетика", М., Физматлит, 2002.
12. J.Rammer, H.Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986).
13. A.Kamenev and A.Andreev, Phys. Rev. B 60, 2218 (1999).
14. M.A.Skvortsov, Phys. Rev. B 68, 041306(R) (2003); D.M.Basko, M.A.Skvortsov, and V.E.Kravtsov, Phys. Rev. Lett. 90, 096801 (2003).