РУС/ENG    

Квантовая электродинамика

Н.Н. Николаев

Квантовая электродинамика (семинар)

Н.Н. Николаев

С одной стороны, это базисный курс для решения практических задач релятивистской квантовой физики. В духе IV тома Курса Теоретической Физики Дандау-Лифшица, основные идеи иллюстрируются на примере абелевой квантовой электродинамики.

С другой стороны, это вводный курс для последующего изучения неабелевых калибровочных полей и Стандартной Модели. С еще одной стороны, сверх материала IV тома, подчеркиваются аналогии с идеями квантовой теории конденсированных сред: теорема Голдстоуна и бесщелевые возмущения, аналогия между феноменом Хиггса в физике частиц и фазовым переходом Гинзбурга-Ландау в теории сверхпроводников, уравнения Каллана-Симанчика для вычисления аномальных размерностей.

Все лекции сопровождаются задачами, не повторяющими разобранные в IV томе. Экзаменационные задачи также не будут повторять задачи из IV тома.

Курс рассчитан на 15 лекций по 2 академических часа и 15 занятий по разбору задач по 2 академических часа.

Программа

1. Введение в теорию поля.
   Воспоминания о гармоническом осцилляторе. Операторы рождения и уничтожения и переход от волновых функций к числам заполнения. Квантование классической струны и акустические фотоны. Поля как координаты и сопряженные им импульсы. Преобразование Лежандра. Гамильтониан и канонические коммутационные соотношения. Массивное скалярное поле и уравнение Клейна-Фока-Гордона.
2. Теория поля и релятивизм.
   Группа вращений в евклидовом пространстве. Матрицы вращений и орбитальный угловой момент. Унитарные 2х2 матрицы и SU(2). Cпиноры и их сопряжение. Соответствие между вращениями в 3-мерном пространстве и преобразованием спиноров. Топологическое отличие SU(2) от О(3). Вращения в пространстве Минковского. Генераторы преобразований Лоренца на языке поворотов и дифференциальных операторов. Замечания о прецессии Томаса. Соответствие между группой Лоренца SL(2,C) и SU(2)xSU(2), классификация представлений. Обобщение на спиноры и релятивистские преобразования спиноров. Киральные спиноры.
3. Уравнение Дирака.
   Вывод уравнения Дирака в киральном представлении. Биспиноры и γ-матрицы. Конечные повороты в пространстве Минковского и преобразования биспиноров. Пространственная инверсия и четность. Сопряженные биспиноры. Лоренцевые свойства билинейных матричных элементов 16 γ-матриц. Уравнение Дирака в стандартном «нерелятивистском» представлении. Оператор спина. Биспиноры для свободных частиц. Гамильтонова форма уравнения Дирака. Спин, орбитальный момент и полный угловой момент. Спиральность как хорошее квантовое число для свободных частиц. Левые и правые частицы. Связь с киральным представлением. Расширение группы Лоренца до 10-параметрической группы Пуанкаре. Полный набор коммутационных соотношений для генераторов группы Пуанкаре. Вектор Паули-Любаньского. Операторы Казимира. Вырожденный случай безмассовых частиц и спиральность. Преобразование Фолди-Вотхаузена.
4. Электрон во внешнем поле.
   Уравнение Паули и спиновый фактор Ланде. Вывод спин-орбитального взаимодействия и Томас-Френкелевская половинка. Угловые спиноры Берестецкого. Сложение спина и орбитального момента. Две системы угловых спиноров. Точное решение кулоновской задачи. Спин-орбитальное взаимодействие.
5. Комплексное скалярное поле.
   Спонтанное нарушение симметрии и теорема Голдстоуна. Феномен Хиггса как частное приложение уравнения Гинзбурга-Ландау. Решения с отрицательными и положительными частотами. Теорема Нётер, тензор энергии-импульса, гамильтониан и сохраняющийся ток. Античастицы. Электрический заряд античастиц. Лагранжиан спинорного поля. Канонический импульс. Вывод гамильтониана преобразованием Лежандра. Оператор электрического тока. Интерпретация решений с отрицательной частотой. Каноническое квантование фермионных полей и принцип Паули. Преобразование биспиноров и спиральности при зарядовом сопряжении. Зарядовое сопряжение как симметрия лагранжиана.
6. Представление взаимодействия и матрица рассеяния.
   Упорядочение по времени. Интуитивная картина процессов рассеяния на языке принципа соответствия (формализм до Швингера-Томонаги-Фейнмана): переход частицы в конечное состояние → генерация электромагнитного поля → рассеяние второй частицы во внешнем поле. Аппарат функций Грина (пропагаторов). Пропагаторы по Фейнману и связь с Т-произведениями. Проекционные операторы для спина-1/2. Квантование электромагнитного поля и выбор калибровки. Переход к выводу теоремы Вика: представление всех амплитуд как матричных элементов между вакуумными состояниями. Рассеяние во внешнем поле в Борновском приближении. Вторая итерация как пример возникновения фермионного пропагатора.
7. Правила Фейнмана.
   Пример процесса второго порядка с фотонным пропагатором: рассеяние электрона на мюоне. Тождественность частиц в рассеянии электрона на электроне. Пример процесса с фермионным пропагатором: подробный разбор вывода амплитуды Комптон-эффекта. Свойства комплексного сопряжения амплитуд. Суммирование и усреднение по поляризациям. Техника вычисления следов. Удобство Фейнмановской калибровки. Сохранение тока и взаимное сокращение вкладов нефизических поляризаций. Доминантность рассеяния назад в релятивистском случае. Генерация узких пучков гамма-квантов в рассеянии лазерного света назад на ультрарелятивистских электронах. Процессы с античастицами. Петлевые диаграммы. Полная сводка правил Фейнмана.
8. Петлевые поправки.
   Пример поправки к электрон-мюонному рассеянию как иллюстрация понятия неприводимых диаграмм. Свойства сходимости/расходимости неприводимых диаграмм в импульсном пространстве. Квадратичная, линейная и логарифмическая расходимости. Трюк Фейнмана в вычислении петлевых интегралов. Проблема квадратичной расходимости поляризации вакуума и потенциальной потери калибровочной инвариантности. Экспоненциальное представление Боголюбова и размерная регуляризация (аналитическое продолжение по размерности пространства-времени) Боллини-Джиамбаччи-тХофта-Вельмана. Чудодейственное восстановление калибровочной инвариантности. Связь полюса по размерности с логарифмической расходимостью при регуляризации по Фейнману. Размерная трансмутация как цена размерной регуляризации. Полюсные и конечные радиационные поправки.
9. Уравнения Дайсона и перенормировки.
   Пример пропагатора фотона. Константа перенормировки Z_3. Собственная энергия электрона. Константа перенормировки Z_2 и перенормировка массы электрона. Вычисление радпоправки к вершинной функции, тождество Уорда и равенство Z_2 = Z_1. Детальная иллюстрация конспирации радиационных поправок и контрчленов. Перенормировка заряда.
10. Первый триумф КЭД.
    Подробный анализ радиационной поправки к вершинной функции. Разделение взаимодействия заряда и магнитного момента. Тождество Гордона. Вывод Швингеровской поправки к магнитному моменту электрона. Тождество Гордона как упрощающий вычисления трюк. Вклад адронной поляризации вакуума в магнитную аномалию.
11. Золотое правило Ферми в релятивистской теории.
    Вычисления времен жизни и полных сечений процессов. Фазовый объем и его релятивистская инвариантность. Редукция многочастичных фазовых объемов к двухчастичным. Распределения по инвариантным массам как способ поиска новых частиц. Иллюстрация техники на примере рождения пар Далица. Условие унитарности и оптическая теорема. Аналитические свойства поляризации вакуума как квадрата массы фотона. Связь с сечением е+е- в аннигиляционном канале. Правило Куткоского. Прямое вычисление мнимой части поляризации вакуума дает автоматически градиентно-инвариантный ответ.
12. Тормозное излучение и инфракрасная катастрофа в КЭД.
    Конспирация реальных и виртуальных поправок как ключ к разрешению парадокса. Квантовая механика конспирации как следствие условия унитарности на языке Фоковских состояний электрона как голого электрона с многофотонным окружением. Приближение Ферми-Вайцзеккера-Вильямса. Приложение к процессу Ландау-Лифшица рождения е+е- пары при столкновении ультрарелятивистских заряженных частиц.
13. Второй триумф КЭД.
    Введение в КЭД во внешнем поле. Детальный разбор собственной энергии атомарного электрона. Вычисление Лэмбовского сдвига.
14. Релятивистский спин во внешнем поле.
    Уравнение Френкеля-Томаса-Баргмана-Мишеля-Телегди (ФТБМТ). Еще один вывод Томас-Френкелевской половинки. Приложения к ускорительной технике. Параметрический спиновый резонанс в накопительных кольцах как пример приложения усреднения по Боголюбову-Крылову к решению уравнения ФТБМТ в представлении взаимодействия.
15. Уравнения Каллана-Симанчика.
    Перенормировки, бегущий заряд. Полюс Ландау-Абрикосова-Халатникова и нуль заряда. Фиксированные точки и аномальные размерности. Вводные замечания об асимптотической свободе в квантовой хромодинамике.

Литература

1. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Квантовая электродинамика (Теоретическая физика — IV).
2. Л. Райдер, Квантовая теория поля.
3. С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.