|
Задачи по квантовой механике
Задачи по квантовой механике
Теория протекания и фракталы
В этом курсе лекций ставилась задача познакомить студентов пятого
семестра третьего курса, только еще начинающих изучать собственно
теоретическую физику, с таким ее разделом, который, с одной стороны,
не требует знания квантовой механики, теории поля, физики твердого тела
и т. д., и при этом, с другой стороны, является совершенно современным,
востребованным и увлекательным. Я постарался рассказать о многих
качественных идеях теории перколяции, касающихся как ее базовых
понятий, так и приложений. Примерно половина лекций рассказывает
о нетривиальных фрактальных свойствах систем, находящихся вблизи
порога перколяции. Эти свойства универсальны (не зависят от конкретной
реализации системы) и, поэтому, могут быть рассмотрены на простых
примерах. Другая половина лекций посвящена выявлению и исследованию
перколяционных явлений в конкретных неупорядоченных физических
системах. Предполагается знание курса общей физики и свободное владение
стандартной математикой. Курс в основном расчитан на начинающих
теоретиков, но вполне доступен и для экспериментаторов.
Программа
- Случайные сетки сопротивлений и метод эффективной среды.
Случайная сетка сопротивлений, как модель смешанной системы.
Метод эффективной среды как эвристический рецепт.
Приближение эффективной среды и теория возмущений.
Решение уравнений эффективной среды для двухкомпонентной системы.
- Задача перколяции: основные решеточные модели.
Задача связей.
Задача узлов.
- Бесконечный кластер и его фрактальные свойства вблизи перколяционного перехода.
Определение бесконечного кластера и его плотность.
Корреляционный радиус.
Фрактальные свойства бесконечного кластера на промежуточных масштабах.
Кратчайшие пути на бесконечном кластере.
- Топологическая структура бесконечного кластера.
Скелет (backbone) бесконечного кластера.
Токонесущая структура бесконечного кластера.
Модель равномерного распределения токов.
Модель одножильной сетки.
“Красные связи” (red bonds) и “клубки” (blobs).
- Статистика конечных кластеров и гипотеза скейлинга.
Конечные кластеры вблизи порога перколяции: гипотеза скейлинга.
Корреляционная функция и корреляционный радиус.
Соотношения между различными критическими индексами.
- Точно решаемые модели перколяции.
Перколяция в одномерной системе: тривиальный пример.
Перколяция на дереве Кейли – явное определение критических индексов.
- Приближенные внутренние симметрии в задачах перколяции.
Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции.
Задачи на регулярных решетках.
Задачи перколяции на случайных узлах.
Случайно упакованные сферы: бинарные смеси.
Почему топологически неупорядоченные задачи узлов обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках.
Глобальная симметрия.
- “Цветные” перколяционные модели.
Цветная перколяция на дереве Кейли: точное решение.
Обобщение на другие системы: приближенная глобальная симметрия для цветной перколяции.
- Перколяционные модели пористых металлов.
Проблема неустойчивости конечных кластеров.
Модель с самозалечивающимся связями: постановка задачи.
Топологический фазовый переход: сетевидная и древовидная фазы.
“Серые связи”.
Установление частичного соответствия со стандартной задачей связей.
Блочная структура и критическое поведение вблизи перехода.
Фрактальные свойства древовидной фазы.
- Диффузия и проводимость в перколяционных моделях.
Статистика кондактансов конечных образцов.
Диффузия частиц в перколяционных системах.
Диффузия на бесконечном кластере.
“Усредненная” диффузия по всей системе.
Диффузия на скелете бесконечного кластера.
- Проводимость и диэлектрическая проницаемость двухкомпонентных систем.
Смесь хорошего и плохого металлов: размытие перколяционного перехода.
Двумерные двухкомпонентные самодуальные системы.
Задача Дыхне для непрерывной среды.
Смесь металла с диэлектриком: диэлектрическая проницаемость вблизи перехода.
Смесь металла с диэлектриком: туннельная проводимость ниже перехода.
Низкие температуры: кулоновская блокада малых кластеров.
NNN(next nearest neighbors)-перколяция и проводимость “прореженной” системы, из которой удалены все малые кластеры.
- “Динамическая” перколяция.
Физические системы с “дышащими” (открывающимися и закрывающимися) связями.
Влияние динамики связей на проводимость системы вблизи порога перколяции.
Модель мгновенно обновляющейся системы.
Более реалистические модели.
- Системы с экспоненциально сильными флуктуациями.
Критическая подсетка кондактансов.
Предэкспоненциальный множитель в проводимости.
Кондактанс точечного контакта.
Случай близких контактов: “дерево лидеров”.
Случай далеких контактов.
- Продольная проводимость неупорядоченных пленок.
Условие сохранения связности бесконечного кластера при вырезании из него слоя конечной толщины.
Зависимость сдвига порога перколяции от толщины пленки.
Корреляционные свойства квазидвумерного бесконечного кластера.
Литература
- D.Stauffer and A.Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor and Fransis, London, 1994.
- Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Глава 5. М.: Наука, 1979.
- A.Bunde, S.Havlin, Percolation I (pp.51-95), Percolation II (pp.97-149), in: Fractals and disordered systems, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlin, 1996.
- V.K.S.Shante and S.Kirkpatrick, Adv.Phys. 20, 325 (1971).
- S.Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).
|