РУС/ENG    

Введение в теорию групп

А.С. Бычков

В курсе изучается теория групп, лежащая в основе теории симметрии. Теория групп имеет большие приложения в физике – от уже классических групп симметрий кристаллов и понятия спина как представления SU(2) до нашедших свои применения в физике относительно недавно топологических инвариантов.

Курс с построен с расчетом на приложения. Видимо, особенностью для в целом математического курса является то, что некоторые математические теоремы не доказываются (дается "объяснение", почему это верно, или поясняющий пример, или просто ссылка на литературу). Основной упор делается на задачи и примеры, оценки выставляются на основе задач, которые студенты решают дома (после каждой лекции выдается задание) и одной очной письменной работы. Также оригинальным является изучение непрерывных групп уже в начальном курсе по теории групп.

Программа

Часть 1

1. Группа перестановок. Разложение в произведение циклов. Разложение в произведение транспозиций. Четность перестановок.
2. Абстрактные группы. Подгруппа. Порядок группы. Примеры.
3. Таблица умножения группы. Группа остатков Z^⋆_n. Изоморфизм групп. Прямое произведение групп. Классификация конечных абелевых групп.
4. Действие группы на множестве. Орбиты, стабилизаторы. |G| = |Gx| · |G_x|
5. Порядок элемента. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
6. Классы сопряженности. Описания классов сопряженности для группы S_n, для группы движений пространства.
7. Нормальные подгруппы. Полупрямое произведение групп.
8. Теорема о гомоморфизме. Теорема Кэли.
9. Группа симметрий правильного многоугольника. Группы симметрий правильных многогранников.

Часть 2

10. Представления групп. Примеры. Прямая сумма представлений. Непри- водимые представления. Теорема Машке. Представления конечных цикличе- ских групп.
11. Коммутант группы. Одномерные представления групп. Примеры.
12. Характеры представлений. Свойства характеров. Таблица характеров. Примеры.
13. Тензорное произведение векторных пространств. Симметрические тензоры, кососимметрические тензоры.
14. Тензорные произведения представлений (⊠ и ⨂). Ограничение представления на подгруппу. Примеры.
15. Представления групп. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления.

Часть 3

15. Группы U(1), SO(2), их представления, соотношение ортогональности.
16. Группы Ли. Алгебры Ли. Примеры. Касательное пространство к единице является алгеброй Ли.
17. Изоморфизм алгебр Ли 𝔰𝔬(3), 𝔰𝔲(2) и R³.
18. Группы SU(2), SO(3), связь между ними. Координаты на них. Экспоненциальное отображение.
19. Представления алгебр Ли. Неприводимые представления алгебры 𝔰𝔲(2).
20. Представления групп SU(2) и SO(3).
21. Характеры представлений групп Ли. Тензорное произведение представлений SU(2).
22. Комплексификация алгебры Ли, связь представлений. Примеры: 𝔰𝔩(n,R), 𝔰𝔬(p, q).
23. Ортогональная алгебра Ли. Алгебра 𝔰𝔬(4).

Литература

1. Э. Б. Винберг Курс Алгебры Главы 4, 12
2. Д. А. Шапиро Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина)
3. Ж.-П. Серр Линейные представления конечных групп Часть 1
4. Э. Б. Винберг Линейные представления конечных групп
5. М. Хамермеш Теория групп и ее применения к физическим проблемам
6. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 3 Квантовая механика гл. XII
7. B.-C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction
8. S. Sternberg. Group Theory and Physics
9. W. Fulton, J. Harris Representation Theory. A First Course