Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Введение в теорию неупорядоченных систем

А.С. Иоселевич

Этот курс лекций посвящен, в основном, электронным свойствам неупорядоченных материалов. Подробно рассматриваются свойства различных систем в диэлектрической фазе (хвосты плотности состояний, прыжковая проводимость, кулоновская щель). Обсуждаются эффекты слабой локализации в металлической фазе (магнитосопротивление, сбой фазы, размерные эффекты), а также свойства волновых функций вблизи локализационного перехода. В заключение описываются некоторые мезоскопические эффекты. Предполагается хорошее знакомство слушателей с квантовой механикой и физикой твердого тела, а также свободное владение стандартной математикой. Курс в основном расчитан на студентов теоретиков, но большая его часть вполне доступна и для экспериментаторов. Во всяком случае, когда в аудитории были студенты из экспериментальных групп (а это бывало нередко) на качественном уровне мне всегда удавалось объяснить им даже наиболее трудный материал.

Программа

  1. Беспорядок в кристаллах
    1. Динамический и замороженный беспорядок: усреднение по времени и усреднение по ансамблю.
    2. Кристаллы, жидкости, стекла, сплавы, магнитные системы. Дальний и ближний порядок.
    3. Задачи.
  2. Невзаимодействующие электроны: модель Андерсона
    1. Различные варианты модели Андерсона
    2. Плотность состояний: общие свойства.
    3. Плотность состояний: сильный беспорядок, локализованные состояния.
    4. Плотность состояний: слабый беспорядок, плоские волны и их слабое рассеяние.
    5. Задачи.
  3. Плотность состояний в модели Андерсона - продолжение
    1. Модель Ллойда: точное выражение для средней плотности состояний.
    2. Экспоненциально малая плотность состояний в модели Андерсона вблизи границы спектра: идея оптимальной флуктуации.
    3. Развитие идеи оптимальной флуктуации, определение численного фактора в показателе экспоненты.
    4. Задачи.
  4. Хвосты плотности состояний для случая гауссова случайного потенциала. Метод оптимальной флуктуации.
    1. Гауссов случайный потенциал, корреляционная функция и корреляционный радиус, определение средней плотности состояний.
    2. Метод оптимальной флуктуации, формулировка общей задачи на условный экстремум, вывод нелинейного уравнения Шредингера.
    3. Случай белого шума ("ближний хвост"), сведение к универсальной безразмерной задаче.
    4. Случай белого шума: точное решение в одномерном случае.
    5. Задачи.
  5. Хвосты плотности состояний - продолжение.
    1. Случай плавного потенциала ("дальний хвост") - точное решение.
    2. Предэкспоненциальный множитель в средней плотности состояний: построение Гауссова функционального интеграла.
    3. Полносимметричная мода, нулевые моды и их вклад в предэкспоненциальный множитель.
    4. Задачи.
  6. Модель Лифшица
    1. Построение модели. Металлический и диэлектрический пределы.
    2. Спектр, собственные состояния и плотность состояний в металлическом случае.
    3. Спектр и собственные состояния в диэлектрическом случае. Парное приближение, резонансные и нерезонансные уровни.
    4. Плотность состояний в диэлектрическом пределе. Случай большого парного расщепления ("ближний хвост")
    5. "Дальний хвост" и коллективные оптимальные флуктуации.
    6. Центральный провал в плотности состояний.
    7. Плотность состояний при очень малых энергиях: неприменимость парного приближения.
    8. Задачи.
  7. Реалистическая модель: слабо легированный полупроводник.
    1. Доноры и акцепторы. Случайный потенциал и плотность состояний в случае малой и большой степени компенсации.
    2. Механизмы переноса заряда в слаболегированном полупроводнике.
    3. Умеренно низкие температуры: качественное описание прыжковой проводимости по ближайшим соседям.
    4. Очень низкие температуры: качественное описание проводимости с переменной длиной прыжка.
    5. Задачи.
  8. Прыжковая проводимость
    1. Прыжки электронов между примесями, сопровождаемые поглощением или излучением фононов. Сетка сопротивлений Миллера-Абрахамса.
    2. Применение теории перколяции. Зависимость проводимости от температуры и концентрации примесей в режиме проводимости по ближайшим соседям.
    3. Проводимость с переменной длиной прыжка, закон Мотта. Качественный вывод (для различных размерностей d). Эффективная d+1-мерная перколяционная модель и количественный вывод закона Мотта.
    4. Задачи.
  9. Прыжковое магнитосопротивление
    1. Туннелирование в магнитном поле. Квазиклассический характер волновых функций и деформация "поверхностей постоянного действия" магнитным полем.
    2. Модификация сетки Миллера-Абрахамса в магнитном поле и вычисление магнитосопротивления с помощью теории перколяции. Пределы слабого и сильного полей. Анизотропия магнитосопротивления.
    3. Магнитосопротивление в режиме проводимости с переменной длиной прыжка.
    4. Задачи.
  10. Корреляционные эффекты в слабо легированном полупроводнике.
    1. Эффекты электрон-электронного взаимодействия: пошаговая процедура минимизации классической электростатической энергии. Первое приближение: фермиевское заполнение одночастичных состояний.
    2. Второе приближение: парные корреляции. Кулоновская щель в плотности состояний. Роль высших приближений.
    3. Различные сценарии многочастичных эффектов в проводимости. Закон Эфроса-Шкловского для проводимости с переменной длиной прыжка.
    4. Задачи.
  11. Эффекты подбарьерного рассеяния в прыжковой проводимости.
    1. Влияние подбарьерного рассеяния на декремент локализованной волновой функции.
    2. Подавление положительного магнитосопротивления подбарьерным рассеянием.
    3. Интерференционные явления: эффект Ааронова-Бома, отрицательное магнитосопротивление.
    4. Задачи.
  12. Локализационный переход.
    1. Андерсоновская локализация в модели Андерсона. Край подвижности. Локализованные и делокализованные состояния: чем они отличаются друг от друга?
    2. Структура волновых функций вблизи порога подвижности. Длина локализации. Мультифрактальность.
    3. Задачи.
  13. Эффекты слабой локализации.
    1. Пределы применимости классической теории проводимости металлов. Квантовая интерференция актов рассеяния (качественное рассмотрение). Самопересекающиеся пути и их вклад в интерференционные члены.
    2. Диффузионный пропагатор и его физическая интерпретация. Последовательность диаграмм, отвечающая первой квантовой поправке: Куперон и его физическая интерпретация. Расходимость квантовой поправки к проводимости в пространстве низкой размерности. Процессы сбоя фазы и инфракрасное обрезание.
    3. Граничные условия для Куперона и размерные эффекты. Размерный кроссовер.
    4. Отрицательное магнитосопротивление: вывод и физическая интерпретация. Осцилляции магнитосопротивления тонкого металлического циллиндра в диффузионном режиме (эксперимент Шарвина и Шарвина).
    5. Квантовые поправки к кондактансу диффузионного S-N-S контакта. Роль андреевского отражения.
    6. Задачи.
  14. Процессы, приводящие к сбою фазы
    1. Неупругие процессы и их роль в сбое фазы. Время сбоя фазы за счет квазиупругих процессов.
    2. Электрон-электронные столкновения: баллистический и диффузионный режимы. Применимость теории Ферми-жидкости к грязным металлам.
    3. Влияние электрон-электронных столкновений на плотность состояний. Аномалия на поверхности Ферми (zero bias anomaly).
    4. Задачи.
  15. Мезоскопика.
    1. Мезоскопический масштаб. Отсутствие самоусреднения.
    2. Когерентный транспорт: Формула Ландауера для проводимости в двухконтактной конфигурации. Роль неупругих процессов. Четырехконтактная конфигурация.
    3. Баллистический кондактанс адиабатического сужения. Квантование кондактанса.
    4. Когерентный транспорт: последовательное соединение кондактансов. Неаддитивность сопротивления и одномерная локализация. Параллельное соединение кондактансов.
    5. Задачи.

Литература

  1. Дж.Займан, Модели беспорядка, М., Мир, 1982.
  2. В.Ф.Гантмахер, Электроны в неупорядоченных средах, М., Физматлит, 2003.
  3. Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, М.: Наука, (1979).
  4. И.М.Лифшиц, С.А.Гредескул, Л.А.Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем, Москва, Физматлит, (1982).
  5. B.I.Shklovskii, B.Z.Spivak, Scattering and Interference Effects in Variable Range Hopping Conduction, in: Hopping transport in solids , eds. (M.Pollak and B.I.Shklovskii, pp. 271-348, Springer, (1991).
  6. А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, М., Физматлит, 2003.
  7. А.А.Абрикосов, Л.П.Горьков, И.Е.Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Москва,(1998).
  8. B.L.Altshuler, A.G.Aronov, Electron-electron interactions in disordered Conductors, in: Electron-electron interactions in disordered systems, eds. A.L.Efros, M.Pollak, North-Holland, Amsterdam, (1985).
  9. Й.Имри, Введение в мезоскопическую физику, Москва, Физматлит, (2002).