Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Теория фазовых переходов

В.В. Лебедев

В курсе лекций развивается теория флуктуационных явлений, связанных с макроскопическими степенями свободы. Наряду с критическими явлениями, имеющими место вблизи фазовых переходов второго рода и критических точек, рассмотрены различные фазы конденсированного состояния, где флуктуации играют важную роль. Представлена теория динамических флуктуаций, которая применяется как к равновесным, так и к неравновесным системам. Используются формализм функциональных интегралов, диаграммная техника, ренорм-групповая процедура, соотношения скейлинга, Ланжевеновские силы, анализируются хвосты функций распределения вероятности. Лекции сопровождаются задачами, решение которых позволяет студентам глубже осознать содержание лекций.

Программа

Теория Ландау
В конденсированном состоянии при изменении температуры или давления происходит множество фазовых переходов. Традиционно они делятся на фазовые переходы первого рода (с конечной скрытой теплотой) и фазовые переходы второго рода (с нулевой скрытой теплотой), последние называются еще непрерывными. Эта классификация отнюдь не является исчерпывающей, но вполне достаточна для большинства практических нужд. Мы сосредоточимся на теории фазовых переходов второго рода, в окрестности которых наблюдаются особенности различных термодинамических величин. Ключевыми элементами этой теории являются параметр порядка и так называемый функционал Ландау, который определяет энергию, связанную с пространственными вариациями параметра порядка. Эта теория применима также к окрестностям критических точек (таких, как критическая точка на диаграмме газ-жидкость). В данной лекции мы развиваем так называемую теорию среднего поля (теорию Ландау), которая предполагает пренебрежение флуктуациями параметра порядка. В этом случае возможен детальный анализ фазовой диаграммы системы и поведения системы вблизи линий перехода, в частности, рассматривается скачок теплоемкости в точке перехода. Обсуждаются также дефекты, нарушающие однородность низкотемпературной фазы, в системах, характеризуемых различной симметрией (различным числом компонент) параметра порядка.
Теория возмущений
Мы начинаем исследование роли флуктуаций параметра порядка в окрестности фазового перехода второго рода или вблизи критической точки, которое требует статистического описания. Статистические свойства параметра порядка характеризуются его корреляционными функциями, то есть средними от его произведений, взятых в разных точках. Если система находится в тепловом равновесии, то теоретически эти корреляционные функции должны вычисляться при помощи Больцмановской функции распределения вероятности. Поскольку она не зависит от времени, не зависят от времени и одновременные корреляционные функции параметра порядка. Мы также пренебрегаем граничными эффектами, вследствие чего все пространственные точки можно считать эквивалентными, это свойство называется пространственной однородностью. Мы развиваем теорию возмущений для этого случая и обсуждаем общие свойства ряда теории возмущений в применении к фазовым переходам. Отдельные члены ряда теории возмущений удобно представлять в виде диаграмм Фейнмана. В частности обсуждаются границы применимости теории среднего поля. Особое внимание уделяется так называемой концепции скейлинга, которая приводит к степенным соотношениям между различными наблюдаемыми величинами, которые характеризуются различными критическими индексами. Устанавливается связь между различными критическими индексами.
Паркетные диаграммы
Теоретический анализ поведения корреляционных функций параметра порядка вблизи температуры фазового перехода второго рода в размерности d=3 является весьма затруднительным. В то же время проблема исследования корреляционных функций параметра порядка может быть последовательно решена в пространстве размерности d=4. Основная идея, используемая в современной теории фазовых переходов, заключается в том, что размерность d=3 не слишком далека от размерности d=4. Тогда имеет смысл исследовать проблему в пространстве размерности d=4-ε (где ε - произвольный малый параметр), и экстраполировать полученные результаты на случай ε=1. Такая процедура, дающая критические индексы в виде (асимптотического) ряда по ε, называется ε-разложением. Нельзя сказать, что ε-разложение дает хорошо определенные величины, поскольку нас интересуют значения индексов при ε=1, что ни в каком смысле не является малой величиной. Тем не менее, если при возрастании ε от 0 до 1 не происходит никаких бифуркаций, то можно надеяться, что полученная экстраполяция дает качественно правильную картину фазовых переходов. Как показывает сравнение результатов ε-разложения с экспериментом, первые члены разложения по ε дают даже неплохое количественное согласие с наблюдаемыми критическими индексами. Необходимым предварительным этапом при проведении ε-разложения является исследование поведения корреляционных функций параметра порядка в пространстве размерности d=4, что является предметом настоящей лекции. Эта задача представляет также несомненный самостоятельный методический интерес, так как выработанные при ее решении идеи находят свое применение и в других областях теоретической физики, например в теории сверхпроводимости или в квантовой теории поля. Мы развиваем способ отбора главной последовательности диаграмм, которые называются паркетными, суммирование которых позволяет найти асимптотическое (при больших масштабах или в близкой окрестности фазового перехода) поведение различных наблюдаемых величин, например, теплоемкости. Как правило, это поведение дается степенями логарифма, значение которого определяется отношением масштаба задачи к атомному размеру, или близостью к точки перехода. Отдельно анализируется поведение системы вблизи трикритической точки, которое является логарифмическим уже в размерности d=3, и к которому применимы развитые методы суммирования главных последовательностей диаграмм.
Ренорм-группа, эпсилон-разложение
Мы начинаем эту лекцию с перевывода результатов, полученных в предыдущей лекции, используя несколько иной язык, который оказывается более удобным для конкретного анализа и который допускает широкое обобщение на другие случаи. Речь идет о так называемом методе ренорм-группы, который был первоначально сформулирован в квантовой теории поля, но нашел весьма широкое применение в задачах, возникающих в теории конденсированного состояния. Смысл этого метода заключается в последовательном интегрировании по самым быстрым (коротковолновым) переменным Больцмановской функции распределения вероятности и в изучении эволюции функционала Ландау при такой процедуре. Ренорм-группа эффективно работает как раз в ситуации, когда основные поправки к наблюдаемым величинам носят логарифмический характер, например, в пространстве размерности d=4 для фазовых переходов второго рода и в пространстве размерности d=3 для трикритической точки. Эти размерности, в которых поправки носят логарифмический характер, называются маргинальными. Ренорм-групповая процедура дает дифференциальные уравнения для коэффициентов разложения Ландау, которое определяет их изменение при уменьшении предельного волнового вектора (ультрафиолетовой обрезки) флуктуирующих величин (параметра порядка), остающихся после исключения быстрых переменных. Решение этих уравнений с последующим пересчетом в наблюдаемые величины позволяет определить критическое поведение системы. Ренорм-групповая процедура работает также в пространстве размерности, близкой к маргинальной, то есть при малых ε. Мы развиваем такое обобщение.
Слабая кристаллизация
Как известно, кристаллизация (переход из жидкого в твердое состояние) является обычно фазовым переходом первого рода. Тем не менее, возможна ситуация, когда кристаллизация близка к непрерывному фазовому переходу (переходу второго рода). Мы будем называть этот случай слабой кристаллизацией. Слабая кристаллизация весьма редко наблюдается в простых жидкостях. В то же время слабая кристаллизация - обычное явление в жидкокристаллическом состоянии, когда речь идет о кристаллизации анизотропной жидкости (нематика) или о кристаллизации фазы с одномерной модуляцией плотности (смектика). В рамках теории среднего поля вещество в окрестности слабо-кристаллизационного фазового перехода обладает рядом особенностей, напоминающих поведение вещества вблизи точки фазового перехода второго рода. Однако флуктуационные эффекты в этих двух случаях имеют весьма разные свойства, что связано с бóльшим фазовым объемом флуктуаций в случае слабой кристаллизации. Мы изучаем теорию слабой кристаллизации изотропной жидкости. Несмотря на то, что эта задача является модельной, она представляет несомненный методический интерес. Дело в том, что вся развитая для этого случая теоретическая схема без особых изменений переносится и на случай слабой кристаллизации в жидких кристаллах, где она встречается сплошь и рядом. Мы начинаем с функционала Ландау для слабой кристаллизации, который строится в терминах флуктуаций модуляции плотности. В отличие от параметра порядка, который является длинноволновой переменной, модуляция плотности раскладывается по гармоникам с большими волновыми векторами (порядка обратного молекулярного размера). Мы развиваем теорию возмущений для слабой кристаллизации. Ведущий ряд поправок, который определяет основные флуктуационные поправки к различным величинам, оказывается в этом случае довольно простым, он представляется диаграммами с замкнутой на себя линией, представляющей парную корреляционную функцию. Это позволяет аналитически получить выражение для этой корреляционной функции и сделать некоторые качественные выводы о поведении системы. Например, флуктуации превращают слабо-кристаллизационный переход, который является непрерывным в теории среднего поля, в переход первого рода. Следующим шагом является установление фазовой диаграммы системы, которая оказывается весьма богатой, она содержит несколько различных фаз. Удается аналитически получить уравнения, которые определяют линии равновесия между этими фазами.
Тепловые флуктуации в смектиках
Смектические фазы (смектики) широко представлены в жидкокристаллическом состоянии вещества. Напомним, что жидкокристаллическое состояние реализуется в веществах, состоящих из вытянутых или дискообразных молекул, причем смектические фазы возникают на фазовой диаграмме веществ, состоящих из молекул вытянутой формы (как правило, это органические молекулы, построенные из нескольких блоков, последовательно соединенных между собой). Смектики характеризуются одномерной модуляцией плотности, что делает их свойства промежуточными между жидкостями и кристаллами (в последнем случае модуляция плотности является трехмерной). Смектики можно представлять себе, как систему слоев, каждый из которых является двумерной жидкостью. Поэтому слои могут проскальзывать друг относительно друга, так что сдвиговый модуль упругости в смектике отсутствует. В то же время система обладает упругостью по отношению к сжатию в направлении, перпендикулярном к слоям (именно в этом направлении модулирована плотность). Имеются различные смектические фазы, которые отличаются друг от друга симметрией смектических слоев. Мы рассматриваем простейший случай, когда смектические слои являются изотропными (такие смектики называют смектиками-A). В силу отсутствия сдвигового модуля смектик довольно легко деформируется при приложении внешней силы. По той же причине в смектике оказываются весьма мягкими флуктуации смектических слоев. Точнее, являются мягкими их изгибные флуктуации, поскольку они не связаны со сжатием слоев, требующем значительной энергии. Эта мягкость приводит к тому, что даже относительно небольшие изгибные флуктуации, возбуждаемые за счет теплового движения, существенно влияют на макроскопические характеристики смектика. Мы стартуем с упругой энергии для изгибных флуктуаций, которая характеризуется двумя модулями упругости. В ее рамках можно проанализировать дислокации в смектиках, которые носят весьма необычный характер в силу сильной анизотропии. Мы показываем, что Брэгговские пики, характерные для обычных кристаллов, в смектиках размываются флуктуациями: вместо острых максимумов, связанных с передачей данного волнового вектора, наблюдается некоторый максимум с крыльями, которые имеют степенной характер. Соответствующий индекс определяется упругими модулями смектика. Далее мы изучаем флуктуационные поправки к модулям упругости смектика, которые носят логарифмический характер. Используя ренорм-групповую процедуру, мы находим ренорм-групповые уравнения для модулей упругости, которые определяют их длинноволновое поведение.
Двумерные ферромагнетики
Проблема, которую мы рассматриваем в настоящей лекции, связана с физикой двумерных ферромагнетиков. Речь идет о магнитных кристаллах, в которых магнитные атомы (атомы с ненулевым спином) собраны в слои, так что расстояние между соседними магнитными атомами в слое заметно меньше, чем расстояние между слоями. В силу того, что обменное взаимодействие между спинами быстро спадает с ростом расстояния между атомами, в слоистом случае в главном приближении можно пренебречь взаимодействием между спинами в различных слоях, в результате чего мы приходим к картине независимых слоев. О свойствах одного такого магнитного слоя, который можно считать двумерной системой, и пойдет речь. Как известно, состояние ферромагнетика характеризуется направлением намагниченности. В двумерном ферромагнетике это направление подвержено сильным флуктуациям. Это приводит к тому, что именно флуктуации определяют магнитный отклик такой системы. Мы развиваем для двумерных ферромагнетиков ренорм-групповую процедуру, которая дает логарифмическую ренормировку магнитного модуля. Однако в ферромагнетиках ситуация радикально отличается от случая фазовых переходов или ситуации в смектиках: в то время как в двух последних случаях эффективная константа связи падает с ростом масштаба (что делает ренорм-групповую процедуру самосогласованной), в первом случае эффективная константа связи растет с ростом масштаба, что приводит к нарушению на некотором масштабе ренорм-групповой процедуры. На этом масштабе исходно степенные корреляции флуктуаций направления намагниченности становятся экспоненциальными, то есть спонтанно возникает длина корреляции. Этот процесс можно последовательно проанализировать в модельном случае большого количества компонент вектора намагниченности.
Физика мембран
В настоящей лекции мы рассмотрим свойства мембран, которые спонтанно возникают во многих органических растворах. Мембраны являются пленками, представляющими собой двойной слой липидных молекул и имеют, следовательно, толщину порядка молекулярного размера. Такие мембраны широко распространены в биологических системах. Например, мембраны являются основным строительным материалом клеточных оболочек, а также таких объектов, как красные кровяные тельца. Упомянем также, что некоторые жидкокристаллические фазы, которые называются лиотропными, представляют собой раствор, содержащий упорядоченную (в той или иной мере) систему мембран. Во избежание недоразумений подчеркнем, что мы будем считать разные мембраны невзаимодействующими, что позволяет рассматривать их отдельно, независимо друг от друга. Это оправдано, например, в лиотропных жидких кристаллах, где расстояние между мембранами много больше их толщины. Таким образом, теория лиотропных жидких кристаллов должна строиться в два этапа: сначала надо изучить свойства отдельно взятой мембраны, а затем уже принять во внимание их взаимодействие. Взаимодействие между мембранами здесь рассматриваться не будет, так как оно представляет собой отдельную проблему, выходящую за рамки настоящего курса. Одиночная мембрана характеризуется энергией, зависящей от ее геометрической формы. В силу того, что мембрана является свободно подвешенной пленкой, коэффициент ее поверхностного натяжения близок к нулю. Поэтому следует принимать во внимание зависимость ее энергии от кривизны, которая в ведущем порядке определяется двумя модулями Хельфриха, и которая достигает минимума для плоской геометрии. В рамках этой энергии оказываются сильными флуктуации ориентации мембраны: корреляция относительных ориентаций в двух точках мембраны логарифмически падает с ростом расстояния между точками. Последовательно этот эффект может быть рассмотрен в рамках соответствующей ренорм-групповой процедуры, которая показывает, что эффективная константа связи системы растет с ростом масштаба, как это имеет место в ферромагнетиках. На некотором масштабе она становится порядка единицы, и на бóльших масштабах мембрана уже ни в каком смысле не может рассматриваться, как близкая к плоской. Мы приводим также вывод ренорм-групповых уравнений для везикулы (мембраны замкнутой формы), который позволяет исследовать поведение второго модуля Хельфриха.
Фазовый переход БКТ
Такие дефекты, как квантовые вихри, дислокации и дисклинации в тонких пленках (которые могут считаться двумерными системами) являются точечными объектами и могут поэтому производиться за счет теплового движения (в то время, как в трехмерных системах тепловое движение, скажем, дислокацию не в состоянии породить). Энергия такого единичного дефекта пропорциональна логарифму размера образца. Поэтому при низких температурах производятся только связанные пары дефект-антидефект, так как энергия этой пары конечна (не зависит от размера образца). При возрастании же температуры плотность этих пар растет. Наряду с этим растет энтропия единичного дефекта, которая также пропорциональна логарифму размера образца. Поэтому при некоторой температуре произведение температуры на энтропию дефекта становится больше, чем его энергия. Выше этой температуры в пленке спонтанно возникают одиночные дефекты, которые разрушают дальние корреляции параметра порядка в пленке. Поэтому при некоторой температуре происходит фазовый переход, например, переход сверхтекучая-нормальная жидкость в пленке гелия-4. Этот переход был впервые изучен Березинским, а затем исследован Костерлицем и Таулессом, по первым буквам фамилий упомянутых авторов мы будем называть его переходом БКТ. Теми же характеристиками обладает фазовый переход в двумерных планарных магнетиках. Отметим, что фазовые переходы того же типа должны наблюдаться при нагреве двумерных кристаллов. А именно, сначала кристалл должен превращаться в так называемую гексатическую фазу, которая затем плавится в жидкость. Эти переходы связаны с появлением распаренных дислокаций и дисклинаций, соответственно. Мы стартуем с энергии низкотемпературной фазы, в которой выделяется часть, связанная с дефектами, и описывающая их логарифмическое взаимодействие, которое напоминает взаимодействие двумерных точечных зарядов. Для определенности мы говорим о квантовых вихрях в сверхтекучей пленке, где каждый вихрь обладает определенной интегральной завихренностью, которая может быть двух знаков. На макроскопическом языке мы имеем дело с полем завихренности, которое обладает различными свойствами в низкотемпературной и высокотемпературной фазах: в первым случае корреляции носят степенной характер, в то время как во втором случае возникает конечный радиус корреляции. Количественно эти корреляции можно проанализировать в рамках эффективного поля, через которое выражаются корреляционные функции завихренности. Ренорм-групповая процедура, сформулированная в рамках этого поля, позволяет проанализировать поведение системы вблизи точки перехода. В частности, особенность теплоемкости оказывается чрезвычайно слабой.
Критическая динамика
В настоящей лекции мы рассмотрим особенности динамики конденсированной среды вблизи точки фазового перехода второго рода, которую обычно именуют критической динамикой. Критическая динамика является не столь универсальной, как статические свойства среды. В то время, как характер особенностей в статических величинах зависит только от числа компонент параметра порядка, при данном числе компонент параметра порядка критическая динамика может быть самой разной. Здесь мы будем изучать простейший случай: так называемую чисто релаксационную динамику параметра порядка. Этот случай является одним из самых важных, так как он часто встречается экспериментально. Он характеризуется одним дополнительным (по сравнению со статикой) индексом z, который называется динамическим, и который характеризует зависимость корреляционных функций параметра порядка от времени. Для изучения проблемы мы будем использовать формализм, основанный на эффективном действии. Этот формализм позволяет сформулировать теорию возмущений, по структуре близкой к той, которая возникает в статике. Отдельные члены этого ряда представляются в виде Фейнмановских диаграмм, где фигурируют два разных типа объектов: корреляционные функции и восприимчивости. Впервые диаграммная техника такого рода была сформулирована Уайлдом в рамках анализа турбулентности. Как и в статике, в динамике маргинальной размерностью является d=4. Для динамики можно построить ренорм-групповую процедуру, которая работает в пространстве размерности 4-ε. В рамках этой процедуры можно нацти ε-разложение для динамического индекса z, которое позволяет оценить его для d=3.
Проблема KPZ
Проблема KPZ (Kardar-Parisi-Zhang) связана с такими процессами, как распространение фронта пламени или рост кристалла из пересыщенного раствора. В обоих случаях речь идет о движущейся границе раздела, которую в нулевом приближении можно считать плоской. Предметом рассмотрения являются флуктуации границы раздела, производящие отклонения ее формы от плоской. Отметим, что в обоих случаях мы имеем дело с сильной неравновесностью, и потому, в отличие от равновесного случая, замкнутое рассмотрение одновременных корреляционных функций невозможно. Поэтому при изучении флуктуаций границы раздела надо стартовать с динамического уравнения, которое и является уравнением KPZ. Удивительным образом, то же уравнение возникает в физике высокотемпературных сверхпроводников, описывая распределение квантовых вихрей (возникающих при наличии внешнего магнитного поля) в случайном потенциале. Таким образом, уравнение KPZ весьма универсально, что связано с его симметрийными свойствами. Анализ проблемы ведется в рамках формализма эффективного действия (ведущего к диаграммной технике Уайлда), который справедлив как для равновесных, так и для неравновесных систем. Флуктуации ведут к логарифмической ренормировке параметров уравнения KPZ, которую можно найти в рамках соответствующей ренорм-групповой процедуры. Как и в случае ферромагнетиков и мембран, эффективная константа взаимодействия системы растет с увеличением масштаба. Это приводит к тому, что на некотором масштабе она становится порядка единицы, и далее ренорм-групповая процедура уже неприменима. На бóльших масштабах ожидается степенное поведение корреляционных функций относительных ориентаций в различных точках поверхности. Интересно, что индекс, характеризующий это поведение, можно точно получить в размерности d=1.
Двумерная гидродинамика
В настоящей лекции мы изучаем роль тепловых флуктуаций в двумерной гидродинамике, то есть мы считаем, что система находится в тепловом равновесии и интересуемся вкладом флуктуаций в законы дисперсии собственных мод системы. Мы рассматриваем два различных класса объектов. Во-первых, это тонкие пленки жидкости на твердой подложке, которые можно считать двумерными на достаточно больших масштабах. Такие пленки в силу их взаимодействия с подложкой не являются замкнутыми системами. Тем не менее, мы можем описывать их в рамках двумерной гидродинамики, если трение о подложку является пренебрежимо малым. Хотя такой случай чрезвычайно трудно реализовать экспериментально, задача представляет несомненный методический интерес. Взаимодействие с подложкой отсутствует для свободно подвешенных пленок. Они являются вторым классом объектов, которые мы рассматриваем. Свободно подвешенные пленки также не могут быть описаны в рамках собственно двумерной гидродинамики, поскольку они обладают изгибной степенью свободы, наличие которой существенно изменяет ситуацию по сравнению с чисто двумерной гидродинамикой. Двумерное гидродинамическое движение описывается в рамках уравнения Навье-Стокса, нелинейность которого приводит к взаимодействию флуктуаций. Рассмотрение в рамках диаграммной техники Уайлда приводит к выводу, что коэффициент вязкости двумерной гидродинамики логарифмически ренормируется с масштабом. Закон этой ренормировки устанавливается после суммирования ведущей последовательности диаграмм: вязкость растет с масштабом, как корень из логарифма. Длинноволновые моды свободно подвешенной пленки являются акустическими, причем в изгибном звуке в силу вращательной симметрии отсутствует обычное квадратичное по волновому вектору затухание. В этой ситуации затухание всех звуковых мод (продольной, поперечной и изгибной) определяется нелинейным взаимодействием этих мод. Исследование в рамках диаграммной техники Уайлда приводит к выводу, что это затухание пропорционально третьей степени волнового вектора для изгибного звука и волновому вектору в степени 5/3 для продольного и поперечного звука.
Пассивный скаляр
Перемешивание различных добавок в жидкости за счет ее гидродинамического движения является весьма распространенным явлением. Здесь мы изучаем физику так называемого пассивного скаляра (который может быть температурой или концентрацией примеси) в хаотическом или турбулентном потоке. Перемешивание пассивного скаляра относится к широкому классу сильно неравновесных явлений. Статистика пассивного скаляра оказывается чрезвычайно чувствительной к характеру гидродинамического движения, возбуждаемого в жидкости, которое, например, в случае развитой гидродинамической турбулентности имеет фрактальный характер. Мы рассматриваем перемешивание пассивного скаляра во фрактальном поле скорости (подобно турбулентному полю скорости) в рамках модели Крайчнана, когда скорость предполагается коротко коррелированной во времени. В этом случае можно сформулировать замкнутые уравнения на одновременные корреляционные функции пассивного скаляра. Уравнение на парную корреляционную функцию явно решается, давая связь между скейлингом пассивного скаляра и фрактальной размерностью поля скорости. Детальный анализ статистических свойств пассивного скаляра возможен при его размешивании гладким случайным полем скорости. Подобное движение имеет место в турбулентных жидкостях на масштабах меньше диссипативного или возникает в результате развития крупномасштабных неустойчивостей (например, в полимерных растворах). В этом случае можно найти корреляционные функции пассивного скаляра как в стационарном (при постоянном вбросе), так и в распадном случаях. Основой этого анализа является формально точное решение уравнения на пассивный скаляр в гладком поле скорости, которое должно быть затем усреднено по статистике этой скорости. В результате в стационарном случае находим логарифмическое поведение корреляционных функций, а в распадном -- более сложное поведение, которое характеризуется экспоненциальным затуханием по времени и (в некотором интервале масштабов) степенной зависимостью координат. Важны также экспоненциальные хвосты функции распределения вероятности одноточечной статистики пассивного скаляра, которые характеризуют вероятность редких событий. В том же духе может быть проанализировано распределение полимеров по длинам в случайном потоке, которое носит степенной характер.

Литература

  1. В. В. Лебедев, Флуктуационные эффекты в макрофизике, МЦНМО, 2004.
  2. R. Kubo, Thermodynamics, North-Holland, Amsterdam, 1968.
  3. R. Ellis, Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics, Springer Verlag, 1985.
  4. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. V, Статистическая физика, Москва, Наука, 1976.
  5. A. A. Belavin, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B 241, 333 (1984).
  6. Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Москва, Мир, 1985.
  7. Abrikosov A. A., Khalatnikov I. M., and Landau L. D., Nuovo Cimento, Suppl., 3, 80 (1956).
  8. H. W. Wyld, Ann. Phys. (N.Y.) 14, 134 (1961).
  9. Л. Д. Ландау, К теории фазовых переходов, ЖЭТФ 7, 19-32 (1937); ЖЭТФ 7, 627-632 (1937); L. D. Landau, Phys. Z. Sowjet., 11, 26 (1937).
  10. В. Н. Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Атомиздат, Москва, 1976.
  11. А. А. Славнов и Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Москва, Наука, 1978.
  12. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков и И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Добросвет, 1998.
  13. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. IX, Е. М. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Москва, Наука, 1978.
  14. И. М. Халатников, Теория сверхтекучести, Москва, Наука, 1971.
  15. А. З. Паташинский и В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходов, Москва, Наука, 1982.
  16. Sh. K. Ma, Modern theory of critical phenomena, Benjamin, New York, 1976.
  17. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. IV, В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Квантовая электродинамика, Москва, Наука, 1980.
  18. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков, Квантовые поля, Наука, Москва, 1980.
  19. М. Пескин и Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, РХД, 2001.
  20. А. П. Леванюк, К теории рассеяния света вблизи точек фазового перехода второго рода, ЖЭТФ, 36, 810-818, 1959.
  21. B. D. Josephson, Equation of state near the critical point, J. Phys. C 2, 1113-1115, 1969.
  22. K. G. Wilson and J. Kogut, The renormalization group and the -expansion, Phys. Rep. 12, 75-199 (1974).
  23. H. Kleinert, Gauge Fields in Condenced Matter, World Scientific, Singapore, 1989.
  24. J.Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Clarendon, Oxford, 1996.
  25. L. Kadanoff, Statistical Physics, Statics, Dynamics and Renormalization, World Scientific, Singapore, 2000.
  26. K. G. Wilson and M. E. Fisher, Critical Exponents in 3.99 Dimensions, Phys. Rev. Lett. 28, 240-243 (1972); K. G. Wilson, Feynman-Graph Expansion for Critical Exponents, Phys. Rev. Lett. 28, 548-551 (1972).
  27. А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий, Фазовый переход в одноосных сегнетоэлектриках, ЖЭТФ, 56, 2087-2098 (1969).
  28. E. I. Kats, V. V. Lebedev, and A. R. Muratov, Weak crystallization theory, Phys. Rep., 228, 1-91 (1993).
  29. С. А. Бразовский, Фазовый переход изотропной системы в неоднородное состояние, ЖЭТФ, 68, 175-185 (1975) [Sov. Phys. JETP, 41, 85 (1975)].
  30. G. Grinstein and R. A. Pelcovits, Anharmonic Effects in Bulk Smectic Liquid Crystals and Other ``One-Dimensional Solids", Phys. Rev. Lett. 47, 856-859 (1981); Nonlinear elastic theory of smectic liquid crystals, Phys. Rev. A 26, 915-925, (1982).
  31. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Теория упругости, Москва, Наука, 1987.
  32. A. M. Polyakov, Interaction of goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields, Phys. Lett. B 59, 79-81 (1975).
  33. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, Из-во ИТФ им. Л. Д. Ландау, 1995.
  34. П. Б. Вигман, Точное решение нелинейной -модели в двух измерениях, Письма в ЖЭТФ, 41, 79-85 (1985); A. M. Polyakov and P. B. Wiegmann, Theory of nonabelian goldstone bosons in two dimensions, Phys. Lett. B 131, 121-126 (1983).
  35. J. Meuner, D. Langevin and N. Boccara, Physics of amphiphilic layers, Springer Procedings in Physics, 21, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
  36. S. A. Safran and N. A. Clark, Physics of complex and supermolecular fluids, Wiley, New York, 1987.
  37. D. Nelson, T. Pvian, and S. Weinberg, Statistical mechanics of membranes and surfaces, World Scientific, Singapore, 1989.
  38. P. B. Canham, The minimum energy as a possible explanation of the concave shape of the human red blood cell, J. Theor. Biol. 26, 61-81 (1970).
  39. W. Helfrich, Elastic Properties of Lipid Bilayers: Theory and Possible Experiments, Z. Naturforsch C 28, 693-703 (1973).
  40. P. G. de Gennes and C. Taupin, Microemulsions and the flexibility of oil/water interfaces, J. Chem. Phys. 86, 2294-2304 (1982).
  41. W. Helfrich, Effect of thermal undulations on the rigidity of fluid membranes and interfaces, J. de Phys. 46, 1263-1268 (1985); L. Peliti and S. Leibler, Effects of Thermal Fluctuations on Systems with Small Surface Tension, Phys. Rev. Lett. 54, 1690-1693 (1985); D. F.ster, On the scale dependence, due to thermal fluctuations, of the elastic properties of membranes, Phys. Lett. A 114, 115-120 (1986); H. Kleinert, Thermal softening of curvature elasticity in membranes, Phys. Lett. A 114, 263-268 (1986); A. M. Polyakov, Fine structure of strings, Nucl. Phys. B 268, 406-412 (1986); H. Kleinert, Size distribution of spherical vesicles, Phys. Lett. A 116, 57-62 (1986).
  42. В. Л. Березинский, Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с неперерывной группой симметрии; I Классические системы, ЖЭТФ, 59, 907-920 (1970) [Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971)]; II Квантовые системы, ЖЭТФ 61, 1144-1156 (1971) [Sov. Phys. JETP 34, 610 (1972)].
  43. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, Long range order and metastability in two dimensional solids and superfluids (Application of dislocation theory), J. Phys. C 5, L124-126 (1972); Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems, J. Phys. C 6, 1181-1203 (1973).
  44. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, Progress in Low Temperature Physics, ed. D. F. Brewer, v. VII B, p. 373 (North-Holland, Amsterdam, 1978).
  45. D. R. Nelson, in Fundamental Problems in Statistical Mechanics, ed. by E. G. D. Cohen, v. V, p. 53 (North Holland, N. Y., 1980).
  46. D. R. Nelson, in Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. by C. Domb and J. L. Lebowitz, v. 7, p. 1 (Academic, London, 1983).
  47. P. Minnhagen, The two-dimensional Coulomb gas, vortex unbinding, and superfluid-superconducting films, Rev. Mod. Phys. 59, 1001-1066 (1987).
  48. Z. Gulacsi, M. Gulacsi, Theory of phase transitions in two-dimensional systems, Adv. Phys. 47, 1-89 (1998).
  49. B. I. Halperin and D. R. Nelson, Theory of Two-Dimensional Melting, Phys. Rev. Lett. 41, 121-124 (1978); 41, 519 (1978); A. P. Young, Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions, Phys. Rev. B 19, 1855-1866 (1979); D. R. Nelson and B. I. Halperin, Dislocation-mediated melting in two dimensions, Phys. Rev. B 19, 2457-2484 (1979).
  50. K. J. Strandburg, Two-dimensional melting, Rev. Mod. Phys. 60, 161-207 (1988).
  51. D. R. Nelson and J. M. Kosterlitz, Universal Jump in the Superfluid Density of Two-Dimensional Superfluids, Phys. Rev. Lett. 39, 1201-1205 (1977).
  52. B. I. Halperin and P. C. Hohenberg, Theory of dynamic critical phenomena, Rev. Mod. Phys. 49, 435-479, 1977.
  53. P. C. Martin, E. D. Siggia, and H. A. Rose, Statistical Dynamics of Classical Systems, Phys. Rev. A 8, 423-437 (1973).
  54. C. de Dominicis, J. Phys. (Paris) Colloq 37, C1-247 (1976).
  55. H. K. Janssen, Lagrangian for Classical Field and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties, Z. Phys. B 23, 377-380 (1976).
  56. C. de Dominicis and L. Peliti, Field-theory renormalization and critical dynamics above : Helium, antiferromagnets, and liquid-gas systems, Phys. Rev. B 18, 353-376 (1978).
  57. M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang, Dynamic Scaling of Growing Interfaces, Phys. Rev. Lett. 56, 889-892, 1986.
  58. G. Blatter, M. V. Feigel'man, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, and V. M. Vinokur, Vortices in high-temperature superconductors, Rev. Mod. Phys. 66, 1125-1388 (1994).
  59. D. Forster, D. R. Nelson, and M. J. Stephen, Large-distance and long-time properties of a randomly stirred fluid, Phys. Rev. A 16, 732-749 (1977).
  60. Е. И. Кац и В. В. Лебедев, Динамика жидких кристаллов, Москва, Наука, 1988; E. I. Kats and V. V. Lebedev, Fluctuational Effects in the Dynamics of Liquid Crystals, Springer-Verlag, N.Y., 1993.
  61. A. Groisman and V. Steinberg, Elastic turbulence in a polymer solution flow, Nature 405, 53-55 (2000); Stretching of Polymers in a Random Three-Dimensional Flow, Phys. Rev. Lett. 86, 934-937 (2001); Efficient mixing at low Reynolds numbers using polymer additives, Nature 410, 905-907 (2001).
  62. G. K. Batchelor, Small-scale variation of convected quantities like temperature in turbulent fluid. Part 1. General discussion and the case of small conductivity, JFM 5, 113-133 (1959).
  63. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.
  64. R. H. Kraichnan, Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence, Phys. Fluids 11, 945-953 (1968).
  65. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Statistics of a passive scalar advected by a large-scale two-dimensional velocity field: Analytic solution. Phys. Rev. E 51, 5609-5627 (1995).
  66. B. I. Shraiman and E. D. Siggia, Scalar turbulence, Nature 405, 639-646 (2000).
  67. G. Falkovich, K. Gaw dzki, and M. Vergassola, Particles and fields in fluid turbulence, Rev. Mod. Phys. 73, 913-975 (2001).
  68. В. И. Кляцкин, Динамика стохастических систем, Москва, Физматлит, 2002.
  69. U. Frisch, Turbulence: the Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, New York (1995).
  70. A. S. Monin and A. M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics, MIT Press, Cambridge Mass. (1975).
  71. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, Москва, Наука, 1986.
  72. B. I. Shraiman and E. D. Siggia, Anomalous Scaling and Small Scale Anisotropy of a Passive Scalar in Turbulent Flow, CRAS 321, Ser. II, 279-284 (1995); K. Gaw dzki and A. Kupiainen, Anomalous Scaling of the Passive Scalar, Phys. Rev. Lett. 75, 3834-3837 (1995); M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov and V. Lebedev, Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar, Phys. Rev. E 52, 4924-4921 (1995).
  73. B. I. Shraiman, E. D. Siggia, Lagrangian path integrals and fluctuations in random flow Boris I. Shraiman, Phys. Rev. E 49, 2912-2927 (1994).
  74. M. Chertkov, Polymer Stretching by Turbulence, Phys. Rev. Lett. 84, 4761-4764 (2000); E. Balkovsky, A. Fouxon, and V. Lebedev, Turbulent Dynamics of Polymer Solutions, Phys. Rev. Lett. 84, 4765-4768 (2000).
  75. R. B. Bird, C. F. Curtiss, R. C. Armstrong, and O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, 2nd ed. Vol. 2, Wiley, New York, 1987.
  76. J. L. Lumley, Drag reduction by additives, Annu. Rev. Fluid Mech. 1, 367-384 (1969); Drag reduction in turbulent flow by polymer additives, J. Polymer Sci.: Macromolecular Reviews 7, 263-290 (1973).
  77. E. Balkovsky and A. Fouxon, Universal long-time properties of Lagrangian statistics in the Batchelor regime and their application to the passive scalar problem, Phys. Rev. E 60, 4164-4174 (1999).
  78. H. Furstenberg, Noncommuting Random Products, Trans. Am. Math. Soc. 108, 377 (1963).