Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Введение в теорию групп

Д.С. Любшин

В курсе изучается теория групп, лежащая в основе теории симметрии. Теория групп имеет большие приложения в физике – от уже классических групп симметрий кристаллов и понятия спина как представления SU(2) до нашедших свои применения в физике относительно недавно топологических инвариантов.

Курс с построен с расчетом на приложения. Видимо, особенностью для в целом математического курса является то, что некоторые математические теоремы не доказываются (дается "объяснение", почему это верно, или поясняющий пример, или просто ссылка на литературу). Основной упор делается на задачи и примеры, оценки выставляются на основе задач, которые студенты решают дома (после каждой лекции выдается задание) и одной очной письменной работы. Также оригинальным является изучение непрерывных групп уже в начальном курсе по теории групп.

Программа

Материалы лекций
Часть 1
  1. Группа перестановок.
  2. Абстрактные группы. Действие группы на множестве.
  3. Порядок элемента. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
  4. Изоморфизм групп. Прямое произведение групп.
  5. Классы сопряженности. Описания классов сопряженности для группы Sn.
Часть 2
  1. Гомоморфизм групп. Коммутант группы.
  2. Представления групп. Прямая сумма представлений. Неприводимые представления.
  3. Характеры представлений.
  4. Тензорное произведение векторных пространств. Ограничение представления на подгруппу.
Часть 3
  1. Многообразия. Задание многообразия уравнениями. Касательное пространство.
  2. Группы Ли. Алгебры Ли. Касательное пространство к единице является алгеброй Ли. Экспоненциальное отображение.
  3. Изоморфизм алгебр Ли so(3), su(2) и R3.
  4. Представление групп Ли. Представления алгебр Ли.
  5. Неприводимые представления алгебры su(2). Представления групп SU(2) и SO(3). Спин.
  6. Характеры представлений групп Ли. Коэффициенты Клебша-Гордона.

Литература

  1. Э. Б. Винберг Курс Алгебры Главы 4, 12
  2. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Том 3 Квантовая механика гл. XII
  3. Д. А. Шапиро Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина)
  4. М. Хамермеш Теория групп и ее применения к физическим проблемам Часть 1
  5. Ж.-П. Серр Линейные представления конечных групп Часть 1
  6. Э. Б. Винберг Линейные представления конечных групп Часть 1