Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Введение в квантовую теорию поля

И.В. Побойко, Н.А. Степанов

Элементы квантовой теории поля

И.В. Побойко, Н.А. Степанов, Д.С. Антоненко

В рамках курса обсуждаются основные вопросы, возникающие при изучении квантовой теории поля. На примере теории свободного бозона в четырёхмерном пространстве-времени демонстрируется подход канонического квантования теорий поля, а на примере возмущения вида «фи-в-четвёртой» выводятся основные правила диаграммной техники Фейнмана в операторном формализме, а также в формализме интеграла по траекториям. В курсе также обсуждается возникновение и элементарные применения аппарата квантовой теории поля в задачах физики твёрдого тела, включая элементы многочастичной квантовой механики и вторичного квантования, а также квантование колебаний одноатомного трёхмерного кристалла.

Курс рассчитан на студентов 3 курса ФОПФ МФТИ и не предполагает никакого предварительного знания помимо базового курса квантовой механики. Для закрепления материала к каждой лекции прилагается набор из нескольких задач.

Программа

  1. Элементы классической теории поля:
    • Лагранжев и гамильтонов формализм классической механики.
    • Связь скобок Пуассона в классической механике и коммутаторов в квантовой механике. Теорема Эренфеста.
    • Обобщение изложенных методов на классическую теорию поля на примере теории свободного бозона.
  2. Квантование поля Клейна-Гордона:
    • Разложение полевых операторов по набору решений классических уравнений движения.
    • Алгебра бозонных операторов рождения и уничтожения. Поле как совокупность частиц.
    • Энергия вакуума, ультрафиолетовые расходимости и эффект Казимира.
  3. Вторичное квантование и многочастичная квантовая механика:
    • Постановка задачи многочастичной квантовой механики. Бозоны и фермионы, детерминант Слэтера.
    • Устройство многочастичного гильбертова пространства, фоковское пространство. Представление чисел заполнения.
    • Алгебра операторов рождения и уничтожения для бозонов и фермионов. Описание задач многочастичной квантовой механики на языке квантовой теории поля.
  4. Модели сильной связи и графен:
    • Блоховские волновые функции и состояния Ванье для кристаллов.
    • Прыжковые (туннельные) гамильтонианы в представлении вторичного квантования.
    • Спектр, закон дисперсии и структура низкоэнергетических возбуждений графена в модели сильной связи. Долинное вырождение, «дираковские фермионы» в графене.
  5. Фононы:
    • Квантование трёхмерной одноатомной решётки, фононы. Продольные и поперечные моды. Описание колебаний в рамках аппарата квантовой теории поля.
    • Деформационный потенциал как модель взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами.
    • Экранировка кулоновского взаимодействия в рамках приближения Томаса-Ферми.
  6. Функции Грина:
    • Запаздывающая, опережающая и фейнмановская функции Грина, вычисления их в рамках теории свободного бозона.
    • Теорема Вика для вакуумных средних полевых операторов.
  7. Диаграммная техника:
    • Возникновение диаграммной техники на примере теории «фи-в-четвёртой».
    • Симметрийные комбинаторные множители, связанные с фейнмановскими диаграммами. Экспоненциирование и сокращение вакуумных пузырей.
    • Связь вакуумных пузырей и энергии основного состояния.
    • Блочное суммирование. Уравнение Дайсона.
  8. Функциональный интеграл:
    • Гауссов функциональный интеграл и теорема Вика. Функциональный детерминант.
    • Выражение для фейнмановского пропагатора квантовой теории поля через функциональный интеграл для теории Клейна-Гордона.
  9. Функциональный интеграл для многочастичной квантовой механики:
    • Когерентные состояния для бозонов.
    • Грассмановы числа и когерентные состояния для фермионов.
    • Вывод функционального интеграла для вторично-квантованных гамильтонианов.
  10. Слабонеидеальный бозе-газ:
    • Большой канонический ансамбль, химический потенциал.
    • Бозе-конденсация и спонтанное нарушение симметрии. Аномальные средние.
  11. Элементы теории Ландау фазовых переходов:
    • Разложение свободной энергии вблизи фазового перехода по степеням параметра порядка и градиентам. Выражение свободной энергии через функциональный интеграл.
    • Разложение вблизи седла со спонтанно нарушенной симметрией на примере комплексного параметра порядка. Теорема Голдстоуна, звук.
    • Флуктуационный вклад в теплоёмкость.

Литература

  1. М.Е. Пескин, Д.В. Шрёдер, "Введение в квантовую теорию поля", 2001.
  2. Л.С. Левитов, А.В. Шитов, "Функции Грина. Задачи и решения.", ФИЗМАТЛИТ, 2003.
  3. Э. Зи, "Квантовая теория поля в двух словах", 2009.
  4. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, "Методы квантовой теории поля в статистической физике", Физматгиз, 1962.
  5. Alexander Altland and Ben Simons, "Condensed Matter Field Theory" (Second Edition), Cambridge University Press, 2010.