Основы теории гравитации

С.С. Вергелес

Первые пять лекций дают сжатый курс дифференциальной геометрии. Изложение ведётся на языке дифференциальных форм. Это позволяет сформулировать и использовать структурные уравнения Картана. Такой подход ведёт к значительной экономии в конкретных вычислениях. Кроме того, формулировка дифференциальной геометрии при помощи аппарата дифференциальных форм соответствует общепринятой в настоящее время практике в математической и физической литературе.

Во второй части курса лекций формулируется и обосновывается основное уравнение теории — уравнение Эйнштейна. Затем при помощи уравнения Эйнштейна решаются классические задачи общей теории относительности: ньютоновское приближение, приближение слабых гравитационных полей и излучение гравитационных волн, решение Шварцшильда для центрально-симметричного распределения материи (чёрная дыра), решение Фридмана уравнений Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной.

Программа

1. Многообразия. Векторы на многообразии. Тензоры и тензорные поля.
2. Дифференциальные формы. Дифференцирование и интегрирование форм.
3. Ковариантное дифференцирование и метрика на многообразии.
4. Тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос векторов. Геодезические линии. Тензора кривизны и кручения. Структурные уравнения Картана и тождества Бианки.
5. Нормальные координаты Римана. Явные выражения для коэффициентов связности. Ковариантная дивергенция. Оператор д'Аламбера.
6. Движение свободной частицы. Движение частицы в гравитационном поле. Ньютоновский предел. Изменение частоты света в гравитационном поле.
7. Тензор энергии-импульса материи. Уравнения движения материи в случае электромагнитного взаимодействия. Закон «сохранения» для тензора энергии-импульса. Уравнение движения релятивистской жидкости.
8. Уравнение Эйнштейна. Физический вывод Эйнштейна и вывод Гильберта. Теория гравитации с Λ-членом.
9. Псевдотензор энергии-импульса. Закон сохранения энергии-импульса. Гармонические координаты.
10. Гравитационное излучение. Слабое гравитационное поле. Случай плоской волны. Излучение гравитационных волн. Регистрация гравитационных волн.
11. Центрально-симметричное гравитационное поле. Решение Шварцшильда. Координаты Крускала. Движение в центрально-симметричном поле.
12. Применение общей теории относительности к космологии. Геометрия однородных и изотропных пространств. Решение Фридмана. Режим экспоненциального расширения Вселенной.

Литература

1. Wald R. M. General relativity. – University of Chicago press, 2010.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – 1988.