Основы теории гравитации

С.С. Вергелес

Курс состоит из трёх неравных частей. Первая часть посвящена математическому аппарату, использующемуся для построения теории гравитации – дифференциальной геометрии. Эта часть занимает около трети всего курса. Студенты должны освоить дифференциальную геометрию криволинейных координат, вложенных в пространство Евклида; принцип описания математического описания пространства в ненулевой кривизной – пространства Римана, а также основные свойства тензора Римана; математический аппарат дифференциальных форм.

Вторая, самая объёмная и занимающая половину курса часть посвящена собственно теории гравитации. Здесь, во-первых, предполагается изучение движение точечной частицы во внешнем гравитационном поле. Изучаются эффекты смещения перигелия финитного движения в поле точечного тяготеющего тела, красное смещение частоты испущенных квантов в гравитационном поле, линзирования и микролинзирования – на этих эффектах построены методы проверки общей теории относительности. Во-вторых, рассматривается уравнение для распределения гравитационного поля – уравнение Эйнштейна и действие Гильберта для него. Рассматривается сферически-симметричное гравитационное поле, метрика Шварцшильда и координаты Керра. Вводится понятие чёрной дыры. В-третьих, рассматривается теория слабых гравитационных волн и их излучение.

Последняя часть курса посвящена космологическим моделям Вселенной. Рассматривается модель Фридмана для однородной Вселенной, вводится постоянная Хаббла. Рассматривается инфляционная модель для ранней стадии развития Вселенной, обсуждается природа реликтового излучения.

Программа

1. Криволинейные координаты в пространстве Евклида.
   • Определение вектора и скаляра.
   • Ковариантная производная. Символ Кристоффеля.
   • Векторные операции дифференцирования, лапласиан.
   • Вариация криволинейных координат.
2. Тензоры кривизны и кручения.
   • Гладкие многообразия.
   • Связность. Метрика, согласованная со связностью.
   • Тензора кривизны и кручения.
   • Риманово пространство. Свойства тензора кривизны. Координаты Римана.
3. Частица в гравитационном поле.
   • Принцип эквивалентности.
   • Уравнение движения частицы в гравитационном поле.
   • Действие для точечной частицы.
   • Промежутки времени и расстояния в гравитационном поле.
   • Предел слабого гравитационного поля. Закон Ньютона.
   • Красное смещение.
4. Тензор энергии-импульса материи.
   • Общее определение тензора энергии-импульса материи.
   • Действие для электромагнитного поля. Уравнения динамики электромагнитного поля в кривом пространстве.
   • Вычисление тензора энергии-импульса для точечных частиц и электромагнитного поля.
   • Модельные виды тензора энергии-импульса для изотропных сред: пылевидная материя, среда с давлением, фотонный газ. Уравнение состояния.
5. Уравнение Эйнштейна.
   • Обобщение уравнения Ньютона на уравнение Эйнштейна. Тензор Эйнштейна.
   • Связь уравнения Эйнштейна с тензором кривизны.
   • Действие Гильберта.
   • Псевдо-тензор энергии-импульса гравитационного поля.
6. Слабое гравитационное поле.
   • Статическое гравитационное поле.
   • Стационарное гравитационное поле.
   • Отклонение и задержка луча в слабом гравитационном поле.
   • Эффект линзирования.
7. Центрально-симметричное гравитационное поле.
   • Определение вида метрики.
   • Установление вида необходимых компонент уравнения Эйнштейна.
   • Получение метрики Шварцшильда.
   • Гравитационный дефект массы.
8. Движение в поле гравитирующих масс.
   • Движение релятивисткой частицы в кулоновом поле.
   • Прецессия перигелия орбиты в гравитационном поле.
   • Прецессия угловых моментов.
9. Излучение гравитационных волн.
   • Гармоническая калибровка, гармоническая калибровка для слабого гравитационного поля.
   • Псевдо-тензор энергии-импульса в квадратичном приближении по слабому гравитационному полю.
   • Уравнение Гельмгольца с источником на метрику.
   • Гравитационная волна в пустоте. Поперечная калибровка. Поляризации гравитационной волны.
   • Квадрупольное излучение гравитационной волны. Распределение по углам и полная интенсивность.
10. Дифференциальные формы.
    • Произвольный базис. Ортонормированный базис.
    • Внешнее умножение дифференциальных форм.
    • Интегрирование дифференциальных форм.
    • Получение форм связности из метрики.
    • Запись уравнение дифференциальной геометрии через дифференциальные формы.
11. Космологическая модель Фридмана.
    • Изотропное пространство: виды метрики для замкнутой, открытой и плоской геометрий.
    • Вид тензора кривизны, его матричные элементы.
    • Постоянная Хаббла. Движение свободной частицы. Красное смещение. Реликтовое излучение.
12. Уравнения Фридмана.
    • Уравнения Фридмана.
    • Решения уравнения Фридмана для различных уравнений состояния вещества.
    • Тёмная энергия: Λ-член в уравнении Эйнштейна.

Литература

1. Wald R. M. General relativity. – University of Chicago press, 2010.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – 1988.