Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Теория протекания и фракталы

А.С. Иоселевич

В этом курсе лекций ставилась задача познакомить студентов пятого семестра третьего курса, только еще начинающих изучать собственно теоретическую физику, с таким ее разделом, который, с одной стороны, не требует знания квантовой механики, теории поля, физики твердого тела и т. д., и при этом, с другой стороны, является совершенно современным, востребованным и увлекательным. Я постарался рассказать о многих качественных идеях теории перколяции, касающихся как ее базовых понятий, так и приложений. Примерно половина лекций рассказывает о нетривиальных фрактальных свойствах систем, находящихся вблизи порога перколяции. Эти свойства универсальны (не зависят от конкретной реализации системы) и, поэтому, могут быть рассмотрены на простых примерах. Другая половина лекций посвящена выявлению и исследованию перколяционных явлений в конкретных неупорядоченных физических системах. Предполагается знание курса общей физики и свободное владение стандартной математикой. Курс в основном расчитан на начинающих теоретиков, но вполне доступен и для экспериментаторов.

Программа

Часть I. Стандартные решеточные перколяционные модели [1,2,3,4]
  1. Случайная сетка сопротивлений: постановка задачи о глобальной проводимости. Приближение эффективной среды. Решение уравнений эффективной среды для двухкомпонентной системы. Частный случай смеси проводящих и непроводящих связей. Диаграммное обоснование метода эффективной среды.
  2. Ограниченность метода эффективной среды, критическая область и критический индекс проводимости .. История вопроса и постановка задач перколяции. Задача связей и задача узлов, порог перколяции. Значения порогов для различных систем. Идея универсальности и критические индексы.
  3. Понятие бесконечного кластера, его плотность P(p), критический индекс β. Корреляционная функция и корреляционный радиус , критический индекс ν. Пространственная структура бесконечного кластера, самоусредняемость и флуктуации.
  4. Фрактальные свойства бесконечного кластера. Понятие фрактальной размерности df. Связь df с индексами β и ν.
  5. Статистика конечных кластеров. Гипотеза скейлинга, критические индекы τ, σ. "Средний размер" конечного кластера S(p), критический индекс γ. Вывод связи между индексами γ, β, ν и τ, σ.
  6. Перколяция в одномерной системе: тривиальный точно решаемый пример.
  7. Перколяция на дереве Кейли - проверка гипотезы скейлинга и определение критических индексов.
  8. Аналогия между перколяционным переходом и магнитным фазовым переходом второго рода. Взаимное соответствие между различными величинами. Ренормгруппа и природа универсальности. Связь между стандартной задачей перколяции и моделью Поттса.
  9. Скейлинг в конечной системе. Поправки и соответствующие критические индексы.
  10. Приближенные инварианты в решеточных задачах, локальная и глобальная симметрии. Классы инвариантности.
  11. Структура бесконечного кластера. Скелет (backbone) перколяционного кластера и его свободные концы (dangling ends). "Красные связи" (red links) и "клубки" (blobs).
  12. Кратчайшие пути на бесконечном кластере, критический индекс dmin (graph dimension).
  13. Верхняя критическая размерность dc задачи перколяции, теория среднего поля и тривиальность критических индексов при d>dc.
  14. Точные решения двумерных задач перколяции.
Часть II. Специальные задачи и применения теории перколяции [1,2,3]
  1. Задачи на случайных узлах. Модель швейцарского сыра.
  2. Непрерывные модели перколяции.
  3. "Перколяция внедрения" (invasion percolation), применение к задачам нефтедобычи.
  4. "Динамическая перколяция" в системах с конфигурацией, изменяющейся со временем.
  5. Модели с самозалечивающимися разрывами связей и свойства пористых материалов. Топологический фазовый переход в древовидную фазу.
  6. Цветные модели перколяции. Простые примены с дискретными и непрерывными наборами цветов.
  7. Применение идей приближенной симметрии к "цветным" задачам перколяции. Эффективный инвариант и структурная функция. Определение условия перколяции и выделение критической моды. Применение к простым примерам.
  8. Перколяция в полидисперсном композитном материале (смеси шариков). Зависимость порога перколяции от дисперсии по размерам.
  9. Перколяция и "прыжковая проводимость" в полупроводниках.
  10. Применение теории перколяции к магнитным сплавам.
  11. Распространение эпидемий и лесных пожаров.
Часть III. Кинетика частиц в перколяционных системах: диффузия и проводимость [3]
  1. Диффузия на перколяционном кластере. Фрактальная размерность случайного блуждания dw и ее связь с индексом проводимости. Диффузионный и недиффузионный режимы. Зависимость проводимости малых образцов от размеров, индекс μ< и его связь с другими индексами..
  2. Общая задача о проводимости в двухкомпонентной системе. Дуальность в двумерных системах и задача Дыхне. Задача о проводимости в смеси проводящих и сверхпроводящих связей, индекс s. Диэлектрическая проницаемость перколяционной системы.
  3. Статистика распределения плотности диффундирующих частиц и токов в случайной сетке сопротивлений. Мультифрактальность.
Часть IV. Проводимость сильно флуктуирующих случайных систем [5]
  1. Случайные сетки сопротивлений с экспоненциально широким разбросом сопротивлений. Перколяционный подход. Понятие критической подсетки и ее свойства. Универсальность.
  2. Структура проводимости на малых расстояниях: "дерево лидеров". Функция распределения сопротивлений малых образцов.
  3. Тонкие пленки, зависимость продольного сопротивления от толщины. Размерный кроссовер. Поперечная проводимость тонких пленок.

Литература

  1. D.Stauffer and A.Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor and Fransis, London, 1994.
  2. Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Глава 5. М.: Наука, 1979.
  3. A.Bunde, S.Havlin, Percolation I (pp.51-95), Percolation II (pp.97-149), in: Fractals and disordered systems, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlin, 1996.
  4. V.K.S.Shante and S.Kirkpatrick, Adv.Phys. 20, 325 (1971).
  5. S.Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).