Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Теория протекания и фракталы

А.С. Иоселевич

В этом курсе лекций ставилась задача познакомить студентов пятого семестра третьего курса, только еще начинающих изучать собственно теоретическую физику, с таким ее разделом, который, с одной стороны, не требует знания квантовой механики, теории поля, физики твердого тела и т. д., и при этом, с другой стороны, является совершенно современным, востребованным и увлекательным. Я постарался рассказать о многих качественных идеях теории перколяции, касающихся как ее базовых понятий, так и приложений. Примерно половина лекций рассказывает о нетривиальных фрактальных свойствах систем, находящихся вблизи порога перколяции. Эти свойства универсальны (не зависят от конкретной реализации системы) и, поэтому, могут быть рассмотрены на простых примерах. Другая половина лекций посвящена выявлению и исследованию перколяционных явлений в конкретных неупорядоченных физических системах. Предполагается знание курса общей физики и свободное владение стандартной математикой. Курс в основном расчитан на начинающих теоретиков, но вполне доступен и для экспериментаторов.

Программа

  1. Случайные сетки сопротивлений и метод эффективной среды.
    Случайная сетка сопротивлений, как модель смешанной системы. Метод эффективной среды как эвристический рецепт. Приближение эффективной среды и теория возмущений. Решение уравнений эффективной среды для двухкомпонентной системы.
  2. Задача перколяции: основные решеточные модели.
    Задача связей. Задача узлов.
  3. Бесконечный кластер и его фрактальные свойства вблизи перколяционного перехода.
    Определение бесконечного кластера и его плотность. Корреляционный радиус. Фрактальные свойства бесконечного кластера на промежуточных масштабах. Кратчайшие пути на бесконечном кластере.
  4. Топологическая структура бесконечного кластера.
    Скелет (backbone) бесконечного кластера. Токонесущая структура бесконечного кластера. Модель равномерного распределения токов. Модель одножильной сетки. “Красные связи” (red bonds) и “клубки” (blobs).
  5. Статистика конечных кластеров и гипотеза скейлинга.
    Конечные кластеры вблизи порога перколяции: гипотеза скейлинга. Корреляционная функция и корреляционный радиус. Соотношения между различными критическими индексами.
  6. Точно решаемые модели перколяции.
    Перколяция в одномерной системе: тривиальный пример. Перколяция на дереве Кейли – явное определение критических индексов.
  7. Приближенные внутренние симметрии в задачах перколяции.
    Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции. Задачи на регулярных решетках. Задачи перколяции на случайных узлах. Случайно упакованные сферы: бинарные смеси. Почему топологически неупорядоченные задачи узлов обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках. Глобальная симметрия.
  8. “Цветные” перколяционные модели.
    Цветная перколяция на дереве Кейли: точное решение. Обобщение на другие системы: приближенная глобальная симметрия для цветной перколяции.
  9. Перколяционные модели пористых металлов.
    Проблема неустойчивости конечных кластеров. Модель с самозалечивающимся связями: постановка задачи. Топологический фазовый переход: сетевидная и древовидная фазы. “Серые связи”. Установление частичного соответствия со стандартной задачей связей. Блочная структура и критическое поведение вблизи перехода. Фрактальные свойства древовидной фазы.
  10. Диффузия и проводимость в перколяционных моделях.
    Статистика кондактансов конечных образцов. Диффузия частиц в перколяционных системах. Диффузия на бесконечном кластере. “Усредненная” диффузия по всей системе. Диффузия на скелете бесконечного кластера.
  11. Проводимость и диэлектрическая проницаемость двухкомпонентных систем.
    Смесь хорошего и плохого металлов: размытие перколяционного перехода. Двумерные двухкомпонентные самодуальные системы. Задача Дыхне для непрерывной среды. Смесь металла с диэлектриком: диэлектрическая проницаемость вблизи перехода. Смесь металла с диэлектриком: туннельная проводимость ниже перехода. Низкие температуры: кулоновская блокада малых кластеров. NNN(next nearest neighbors)-перколяция и проводимость “прореженной” системы, из которой удалены все малые кластеры.
  12. “Динамическая” перколяция.
    Физические системы с “дышащими” (открывающимися и закрывающимися) связями. Влияние динамики связей на проводимость системы вблизи порога перколяции. Модель мгновенно обновляющейся системы. Более реалистические модели.
  13. Системы с экспоненциально сильными флуктуациями.
    Критическая подсетка кондактансов. Предэкспоненциальный множитель в проводимости. Кондактанс точечного контакта. Случай близких контактов: “дерево лидеров”. Случай далеких контактов.
  14. Продольная проводимость неупорядоченных пленок.
    Условие сохранения связности бесконечного кластера при вырезании из него слоя конечной толщины. Зависимость сдвига порога перколяции от толщины пленки. Корреляционные свойства квазидвумерного бесконечного кластера.

Литература

  1. D.Stauffer and A.Aharony, Introduction to Percolation Theory, Taylor and Fransis, London, 1994.
  2. Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Глава 5. М.: Наука, 1979.
  3. A.Bunde, S.Havlin, Percolation I (pp.51-95), Percolation II (pp.97-149), in: Fractals and disordered systems, eds. A.Bunde, S.Havlin, Springer, Berlin, 1996.
  4. V.K.S.Shante and S.Kirkpatrick, Adv.Phys. 20, 325 (1971).
  5. S.Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).