РУС/ENG    

Современная геометрия

П.Г. Гриневич

В настоящее время топологические методы и теория групп и алгебр Ли являются существенной компонентой математического аппарата современной физики. Цель курса - познакомить студентов с основными понятиями и методами этих областей и подготовить их к дальнейшему самостоятельному изучению предмета в случае необходимости. Курс лекций состоит из двух примерно равных по продолжительности частей.

В первой части излагаются основные понятия топологии включая понятие топологического пространства, элементы теории многообразий, основы теории накрытий, дается определение фундаментальной группы и производится ее вычисление для ряда базисных примеров, проводится классификация одномерных и компактных двумерных многообразий.

Вторая половина курса посвящена основам теории групп и алгебр Ли. С учетом возможных приложение к квантовым группам излагается теория универсальных обертывающих алгебр для алгебр Ли, включая вывод формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа, позволяющей построить группу Ли по алгебре Ли. Оставшаяся часть посвящена классификации простых алгебр Ли, в процессе которой естественно возникают 5 особых алгебр, играющих важную роль в квантовой теории поля. При этом строятся системы корней для алгебр, необходимые при построении их представлений.

Основное содержание курса рассчитано на физиков-теоретиков. Предполагается знание математического анализа в объеме стандартного курса МФТИ и элементов общей теории относительности.

Программа

Часть I. Основные понятия топологии.

1. Базисные понятия общей топологии

   Понятие топологического пространства. Открытые и замкнутые множества. Вторая аксиома отделимости. Непрерывное отображение. Гомеоморфность. Компактность. [1, 2, 4, 5, 6]. Хаусдорфовы топологические пространства. Метрические пространства. Нормированные линейные пространства. [1, 2, 4, 7, 6].

2. Многообразия.

   Понятие непрерывного многообразия. Понятие гладкого многообразия. Примеры. Многообразия, задаваемые системой уравнений. Ориентируемость. Разбиение единицы. [1, 2, 4, 6].

3. Гомотопии, гомотопическая эквивалентность, фундаментальная группа.

   Гомотопия. Гомотопическая эквивалентность. [1, 2, 4, 6]. Фундаментальная группа. Фундаментальная группа окружности, букета окружностей. [1, 2, 3].

4. Накрытия. Связь с фундаментальной группой.

   Накрытие (над локально односвязным пространством). Теорема о накрывающей гомотопии. [1, 2, 3]. Связь фундаментальных групп накрывающего и накрываемого пространства. Классификация накрытий в терминах подгрупп фудаментальной группы. Универсальная накрывающая. Универсальные накрывающие групп SO(3) и SO(4). Универсальные накрывающие двумерных многообразий. [1, 2, 3]. Классификация двумерных компактных многообразий.

Часть II. Группы Ли и алгебры Ли. Их связь. Простые алгебры Ли.

1. Понятие группы Ли и алгебры Ли. Их связь. Универсальная обертывающая алгебра.

   Понятие группы Ли и алгебры Ли. Экспоненциальное отображение. [1, 2, 8, 12].

   Алгебра Ли матричной группы Ли. Алгебра Ли как алгебра левоинвариантных векторных полей. [1, 2, 8, 12].

   Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта о базисе универсальной обертывающей алгебры. [9, 11, 10].

   Свободная алгебра Ли, порожденная системой образующих. Теорема Фридрихса о характеризации элементов свободной алгебры, лежащих в свободной алгебре Ли в терминах диагонального оператора. [11, 9].

   Построение локальной группы Ли по алгебре Ли (формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа). [9, 12, 10].

2. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

   Матричные алгебры, все элементы которых нильпотентны. Теорема Энгеля. Нильпотентные алгебры Ли. [9, 11, 10, 8].

   Разрешимые алгебры Ли. Теорема Ли. [11, 10, 8, 9].

3. Полупростые алгебры Ли. Их классификация с ипользованием диаграмм Дынкина. Особые алгебры Ли.

   Форма Картана-Киллинга. Критерий разрешимости алгебры Ли в терминах формы Картана-Киллинга. [11, 10, 8, 9].

   Подалгебра Картана. Теорема существования подалгебр Картана. Корневое разложение по подалгебре Картана. [9, 11, 10, 8].

   Подалгебра Картана простой алгебры Ли. Свойства системы корней алгебры Ли. Одномерность корневых подпространств простой алгебры Ли. [9, 11, 10, 8].

   Системы корней в двумерном пространстве. [9, 11, 10, 8].

   Диаграммы Дынкина. [9, 11, 10, 8]. Теорема классификации диаграмм Дынкина. Классические и особые простые алгебры Ли [9, 11, 10, 8].

Литература

1. С.П.Новиков, И.А.Тайманов «Современные геометрические структуры и поля». М:Издательство МЦНМО, 2005
2. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. «Современная геометрия». М.: Наука. 1986.
3. У.Масси, Дж.Столлингс. «Алгебраическая топология. Введение.» М:Мир, 1977.
4. Дж.Милнор, А Уоллес. «Дифференциальная топология. Начальный курс.» М:Мир, 1972
5. Н.Стинрод, У.Чинн «Первые понятия топологии» М:Мир, 1967.
6. М.М.Постников. «Введение в теорию Морса» М.: Наука. 1971.
7. М.Рид, Б.Саймон «Методы современной математической физики. т.1 Функциональный анализ». М:Мир, 1977.
8. Ж.-П.Серр. «Алгебры Ли и группы Ли.» М:Мир, 1969.
9. Н.Джекобсон. «Алгебры Ли.» М:Мир, 1964.
10. М.Гото, Ф.Гросханс. «Полупростые алгебры Ли.» М:Мир, 1981.
11. Дж. Хамфрис «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений». М:Издательство МЦНМО 2003.
12. А.А.Кириллов. «Элементы теории представлений.» М.: Наука. 1978.