Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Дополнительные главы квантовой механики

К.С. Тихонов, М.В. Фейгельман

Курс состоит из двух частей.

Часть I. «Дополнительные главы квантовой механики-I»: Это курс лекций по современным разделам квантовой механики, не входящим в стандартные курсы физических факультетов университетов, но активно используемым в теоретических и экспериментальных исследованиях последних 20-30 лет. Содержание естественным образом подразделяется на три части: а) продвинутые квазиклассические методы (адиабатическая фаза Берри, туннелирование Ландау-Зинера, точки поворота в комплексной плоскости), б) фейнмановская формулировка квантовой механики через интегрирование по траекториям и описание на этом языке основных квантовомеханических явлений, и в) формализм матрицы плотности (редуцированные матрицы плотности, энтропия запутанности, декогеренция и диссипация в открытых системах).

Часть II. «Интегралы по путям и квантовая механика открытых систем»: Курс лекций по квантовой механике микроскопических систем, взаимодействующих с внешней средой. Основной формализм излагаемой теории — метод интеграла по траекториям. Вначале он излагается как альтернативный подход к изучению задач о квантовом туннелировании «чистой» системы. Затем проводится обобщение метода, необходимое для описания открытых квантовых систем (формализм матрицы плотности, функционал влияния Фейнмана-Вернона, влияние диссипации на интерференцию и туннелирование).

Программа

(на каждую лекцию — по 3 астрономических часа)

Часть I. «Дополнительные главы квантовой механики-I»:
  1. Фазы Берри.
    Адиабатическая эволюция и геометрическая фаза. Связность Берри спиновой системы и блоховских состояний в кристалле. Связь с движением в потенциале решетки: аномальная скорость волнового пакета. Приложения к аномальному эффекту Холла и квазиклассическому квантованию уровней Ландау.
  2. Фейнмановский интеграл по траекториям.
    Интеграл по путям для амплитуды перехода K(x,x') и уравнение Шредингера. Факторизация решения для K(x,x') для квадратичных потенциалов. Явное вычисление для свободного движения и для гармонического осциллятора (с предэкспонентой). Вычисление функциональных детерминантов методом Гельфанда-Яглома.
  3. Матрица плотности.
    Описание смешанных состояний матрицей плотности. Разложение Шмидта и редуцированные матрицы плотности. Энтропия запутанности.
  4. Поправки к адиабатическому приближению.
    Поправки к адиабатическому приближению. Экспоненциально малые эффекты. Эффект Ландау-Зинера. Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости координаты и времени.
  5. Декогерентность и матрица плотности.
    Дефазировка и измерения на языке матрицы плотности. Двухуровневая система и осциллятор, взаимодействующие с тепловой баней. Когерентные состояния. Марковское приближение и Линдбладиан.
  6. Катастрофа ортогональности – 1.
    Многочастичные волновые функции свободных фермионов и внезапное включение локального рассеивателя. Оценка Андерсона для интегралов перекрытия и адиабатическое вычисление. Связь с задачей о поглощении фотона (Fermi-edge singularity) и с подавлением когерентного туннелирования трением.
Часть II. «Интегралы по путям и квантовая механика открытых систем»:
  1. Туннельное расщепление и распад и «инстантоны».
    Интеграл по путям в мнимом времени. Амплитуда перехода ALR для 2-ямного потенциала и выражение для нее через интеграл по путям. Экстремальное решение типа «кинк» и флуктуации около него на примере модели потенциала V1(x) = - x2 + x4. Выделение «нулевой моды». Выражение для амплитуды ALR через действие кинка и отношение детерминантов флуктуаций в поле безотражательного потенциала. Задача о распаде метастабильного состояния на примере потенциала V2(x) = x2 – x3. Вычисление мнимой части энергии состояния (т.е. скорости распада) через интеграл по путям. Перевальное решение типа «bounce» и отрицательная мода. Вычисление мнимой части расходящегося интеграла. Выражение для скорости распада через действие кинка и отношение детерминантов флуктуаций в поле безотражательного потенциала.
  2. Катастрофа ортогональности – 2.
    Катастрофа ортогонализации в бозонизированном представлении. Сингулярность ферми-края. Дефазировка и катастрофа ортогональности в интерферометре. Диссипативная двухуровневая система: введение.
  3. Функционал влияния Фейнмана-Вернона для матрицы плотности – 1.
    Равновесная (тепловая) матрица плотности. Уравнение эволюции от 0 до 1/T по мнимому времени и интеграл по путям. Статистическая сумма. Равновесная матрица плотности частицы в магнитном и в электрическом полях. Вариационный принцип. Матрица плотности при линейной связи с внешним полем. Функционал влияния в мнимом времени. Задача о поляроне.
  4. Функционал влияния Фейнмана-Вернона для матрицы плотности – 2.
    Неравновесная матрица плотности: интеграл по путям «туда и обратно» по времени. Усреднение по состояниям «среды» и функционал влияния. Среда, состоящая из набора осцилляторов при заданной температуре T. Периодичность по мнимому времени. Вычисление потенциала влияния через функции Грина на контуре «туда и обратно». Среда с линейной («омической») диссипацией. Квантовый аналог уравнения Ланжевена и его классический предел. Классическая диссипативная динамика и суперсимметрия. Функция Грина быстрой частицы в случайном магнитном поле.
  5. Диссипация в квантовой механике – 1.
    1. Примеры физических систем:
      • туннелирование между вырожденными двумя состояния: молекула аммиака и подобные ей, туннелирование спина S>>1 в молекулярных кластерах, кубиты, TLS в металлах;
      • проблема узкой зоны: μ-мезоны в металле, динамика фазы в джозефсоновских контактах;
      • распад метастабильного состояния в присутствии диссипации: phase slip in biased Josephson junction, туннелирование электрона в грязный металл, крип дислокаций в квантовом кристалле.
    2. Общая теория квантового распада при наличии диссипации.
    3. Переход от тепловой активации к диссипативному туннелированию. Пре-экспоненциальный фактор.
  6. Диссипация в квантовой механике – 2.
      • Двух-уровневая система с диссипацией в мнимом времени при слабой связи α << 1.
      • Точно решаемый случай: ДУС с α = 1/2.
      • Фазовый переход при α = 1 – блокада туннелирования.
    1. Разрушение зонного движения в периодическом потенциале:
      • разложение по инстантонам и дуальное к нему,
      • фазовый переход Шмида и его физ. смысл,
      • диссипация, периодическая по фазе.

      Литература

        Основная литература:

      1. Р. Фейнман, А. Хиббс, «Квантовая механика и интегралы по траекториям».
      2. Р. Фейнман, «Статистическая механика», курс лекций.
      3. Л.В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).
      4. P.C. Martin, E.D. Siggia, and H.A. Rose, Phys. Rev. A 8, 423 (1973).
      5. A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Ann. Phys. 149, 374 (1983).
      6. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том 5 «Статистическая механика», §§1-8.
      7. R. Rosenfelder, «Path Integrals in Quantum Mechanics», https://arxiv.org/abs/1209.1315v4
      8. P.W. Anderson, «Infrared catastrophe in Fermi gases with local scattering potentials», Phys. Rev. Lett. 18, 1051 (1967).
      9. Л.С. Левитов, А.В. Шитов, «Функции Грина. Задачи и решения», задача 27.
      10. M.V. Berry, «Quantal phase factors accompanying adiabatic changes», Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45-57 (1984).
      11. I.L. Aleiner, Ned S. Wingreen, and Yigal Meir, «Dephasing and the orthogonality catastrophe in tunneling through a quantum dot: The “which path?” interferometer», Phys. Rev. Lett. 79, 3740 (1997).
      12. Дополнительная литература:

      13. А.М. Поляков, «Калибровочные поля и струны», ИТФ им. Л.Д. Ландау, 1995 (Глава 4).
      14. Р. Раджараман, «Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля», М.:Мир, 1985 (Глава 5).
      15. C. Callan and S. Coleman, Phys. Rev. D 16 672 (1977); J. Zittarz and J.S. Langer, Phys. Rev. 148, 741 (1966).
      16. R.P. Feyman and F.L. Vernon, Annals of Physics 24, 118 (1963).
      17. A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982).
      18. A. Kamenev and A. Levchenko, Advances in Physics 58, 197 (2009) [arXiv:0901.3586].
      19. С.В. Иорданский, А.М. Финкельштейн, ЖЭТФ 62, 403 (1972); S.V. Iordanskii, A.M. Finkel’stein, J. Low. Temp. Phys. 10, 423 (1973).
      20. «Quantum tunnelling in condensed media», Eds. Yu. Kagan and A.J. Leggett, Elsevier Science Publishing (North Holland), 1992 (сборник обзоров).
      21. I. Affleck, Phys. Rev. Lett. 46, 388 (1981).
      22. А.И. Ларкин, Ю.Н. Овчинников, ЖЭТФ 85, 1510 (1983); ЖЭТФ 86, 719 (1984).
      23. С.Е. Коршунов, ЖЭТФ 92, 1828 (1987).
      24. С.Е. Коршунов, Письма в ЖЭТФ 45, 342 (1987).
      25. G. Sundaram and Q. Niu, «Wave-packet dynamics in slowly perturbed crystals: Gradient corrections and Berry-phase effects», Phys. Rev. B 59, 14915 (1999).
      26. R. Resta, «Manifestations of Berry's phase in molecules and condensed matter», Journal of Physics: Condensed Matter, Volume 12, Number 9.