Кафедра ФОПФ МФТИ

Проблемы теоретической физики

при ИТФ им. Л.Д.Ландау

РУС/ENG

Уравнения математической физики

В.В. Лебедев, И.В. Колоколов

Уравнения математической физики (семинар)

А.В. Лункин

В настоящем курсе обсуждаются математические задачи, возникающие в различных физических ситуациях, а также способы их решения. Как правило, речь идет о дифференциальных уравнениях, как обыкновенных, так и в частных производных, с начальными и граничными условиями. Рассматриваются отдельные вопросы, связанные с интегральными уравнениями. Обсуждаются линейные задачи, анализ которых ведется на языке функций Грина. Представлены сведения об основных специальных функциях, их свойства, включая поведение в комплексной плоскости и асимптотическое поведение. Приводятся основные сведения по нелинейным динамическим системам, включая теорию устойчивостей, решения солитонного типа и анализ интегрируемых уравнений. Приводятся способы решения задач (усредненные уравнения, пограничный слой), важные с точки зрения приложений. Обсуждаются интегральные уравнения. Даются основы теории групп.

Курс — годовой, читается в течение двух семестров.

Программа

  1. Линейные эволюционные уравнения.
    • Уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.
    • Уравнения порядка выше первого с постоянными коэффициентами.
    • Матричное уравнение с постоянными коэффициентами.
    • Преобразование Лапласа в эволюционных задачах.
    • Интегральные уравнения Вольтерры.
    • Неоднородная по времени релаксация.
  2. Статические линейные поля.
    • Обыкновенные дифференциальные уравнения с граничными условиями.
    • Поведение решения вблизи особых точек.
    • Задачи на собственные значения.
    • Электростатические задачи.
    • Двумерные гармонические функции.
    • Собственные функции уравнения Шрёдингера.
    • Уравнение Шрёдингера в Кулоновском потенциале.
  3. Специальные функции.
    • Гамма-функция Эйлера.
    • Функция Эйри.
    • Функции Бесселя.
    • Полиномы Лежандра.
    • Полиномы Эрмита.
    • Вырожденная гипергеометрическая функция.
  4. Динамические линейные поля.
    • Волновое движение в однородной среде.
    • Излучение.
    • Уравнение на огибающую.
    • Уравнение Гельмгольца.
    • Уравнение диффузии.
    • Уравнение Стокса.
    • Временно́е уравнение Шрёдингера.
  5. Автономные системы.
    • Фиксированные точки и предельные циклы.
    • Уравнение Ван дер Поля.
    • Бифуркации.
    • Модель Лоренца.
    • Лагранжевы уравнения.
    • Релаксационные уравнения.
    • Полевые релаксационные уравнения.
    • Сингулярная теория возмущений.
    • Решение вблизи особой точки.
    • Пограничный слой.
  6. Приближенные и специальные решения.
    • Параметрическая неустойчивость.
    • Метод усреднения и медленная эволюция.
    • Усредненные уравнения для волн.
    • Автомодельные решения.
    • Движение фронта.
  7. Нелинейные полевые уравнения.
    • Уравнения Хопфа и Бюргерса.
    • Нелинейное уравнение Шрёдингера.
    • Уравнение Гросса-Питаевского.
    • Уравнения Эйлера и Навье-Стокса.
    • Интегрируемые уравнения: Уравнение Кортевега-де-Фриза, Уравнение синус-Гордон, Одномерное нелинейное уравнение Шрёдингера.
  8. Интегральные уравнения.
    • Уравнения Фредгольма.
    • Уравнения с симметричными ядрами.
    • Некоторые нелинейные интегральные уравнения.
    • Сингулярные интегральные уравнения.
  9. Теория групп.
    • Конечные группы.
    • Представления группы.
    • Группы и алгебры Ли.
    • Представления групп Ли.

Конспект

Литература

  1. Г. И. Баренблатт, Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, Гидрометеоиздат, Ленинград, 1982.
  2. Г. Бейтмен и А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Лань, СПб, 2001.
  3. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Наука, Москва, 1981.
  4. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса, Наука, Москва, 1988.
  5. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П., Теория солитонов, Наука, Москва, 1980.
  6. Колоколов И. В. и др., Задачи по математическим методам физики, УРСС, Москва, 2009.
  7. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, Лань, СПб, 2002.
  8. Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики. Том 1, ИЛ, Москва, 1958.
  9. Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, Том 2, ИЛ, Москва, 1960.
  10. Мусхелишвили Н.И., Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике (3-е изд.), Наука, Москва, 1968.
  11. Наймарк М.А., Теория представлений групп, УРСС, Москва, 2010.
  12. Найфэ А., Методы возмущений, Мир, Москва, 1976.
  13. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики (5-е изд.), Наука, Москва, 1977.
  14. Шапиро Д. А., Конспект лекций по математическим методам физики, части 1,2, Изд. НГУ, Новосибирск, 2004.