|
Теория вероятностей
Теория вероятностей (семинар)
А.А. Соколов
Курс предназначен для овладения будущими физиками теоретическими основами теории вероятностей, ее практическими методами и их приложениями к задачам статистической физики, а также задачам обработки результатов случайных процессов. Необходимость такого специализированного курса диктуется длительными наблюдениями профессоров кафедры за результатами прохождения студентами общего курса теории вероятностей, читаемого в МФТИ.
Программа
- Вероятностное пространство и случайные величины.
- Конечное вероятностное пространство: элементарные исходы, события, вероятность. Вероятность в классической схеме и бернуллиевской схеме. Некоторые основы комбинаторики (числа сочетаний, размещений, перестановок) и подсчет простейших вероятностей.
- Произвольное вероятностное пространство: Колмогоровская аксиоматика. Определение σ-алгебры и вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.
- Случайные элементы — формальное определение. Случайные величины, случайные векторы, действия над случайными векторами. Примеры.
- Распределения.
- Распределение вероятностей — формальное определение безотносительно случайных элементов. Виды распределений (абсолютно непрерывное и дискретное) и примеры. Распределение случайной величины и случайного вектора.
- Характеристики распределений: функция распределения, плотность. Примеры. Основные распределения: распределения Бернулли (модель с монеткой), биномиальное (модель с несколькими монетами), пуассоновское (большое количество монет с малой вероятностью успеха), равномерное (геометрическая модель), гауссовское (нормирование большого количества независимых испытаний), экспоненциальное (моделирование из равномерного распределения; интерпретация — время между последовательными совершениями событий одной и той же природы), распределение Коши (тяжелые хвосты; моделирование с помощью двух нормальных случайных величин), Лапласа (встречается в финансовой математике), логнормальное распределение.
- Независимость случайных величин и случайных векторов. Функция распределения и плотность вектора, составленного из независимых компонент. Вычисление вероятностей, ассоциированных с векторами, составленными из независимых величин.
- Математическое ожидание (определение только для дискретного и абсолютно непрерывного случаев), дисперсия, ковариация, моменты. Основные свойства математического ожидания, дисперсии и ковариации. Математическое ожидание произведения независимых величин и дисперсия суммы. Подсчет математического ожидания для стандартных распределений. Отсутствие математического ожидания у распределения Коши. Вычисление всех моментов нормального распределения.
- Сходимости.
- Сходимости почти наверное, по вероятности и в Lp. Закон больших чисел в форме Чебышева, усиленный закон больших чисел.
- Сходимости по распределению, критерии. Характеристическая и производящая функция. Характеристическая функция случайного вектора. Вычисление характеристических функций для основных распределений. Вычсиление плотности с помощью характеристической функции. Вычисление моментов с помощью характеристической функции. Вычисление всех факториальных моментов пуассоновского распределения. Метод моментов, метод производящей функции и метод характеристической функции. Теорема о непрерывности. Центральная предельная теорема.
- Формула Стирлинга и асимптотическое разложение биномиальных коэффициентов. Предельная теорема Пуассона, локальная и интегральная предельные теоремы.
- Гауссовские векторы.
- Определение и основные свойства (три эквивалентных определения). Вектор математических ожиданий и матрица ковариаций. Независимость компонент гауссовского вектора. Плотность гауссовского вектора.
- Многомерная центральная предельная теорема. Наследование сходимостей. Приложения многомерной центральной предельной теоремы.
- Дискретные случайные блуждания.
- Определение случайного блуждания, простейшего симметричного случайного блуждания. Подсчет вероятностей. Принцип отражения, числа Каталана. Задача о голосовании.
- Распределение максимума, вероятность возвращения в 0 (в том числе и многомерный случай).
- Закон повторного логарифма.
- Непрерывные случайные блуждания — винеровский процесс.
- Случайные процессы с непрерывным временем: определение и конечномерные распределения. Процессы с независимыми приращениями.
- Винеровский процесс: два эквивалентных определения. Траектории винеровского процесса. Непрерывность и недифференцируемость. Принцип отражения, распределение максимума (теорема Башелье), прохождение через «ворота», возвращение в 0, закон повторного логарифма.
- Стационарные распределения.
- Понятие стационарности случайного процесса в узком и широком смысле.
- Cтационарные распределения марковских процессов, эргодическая теорема. Примеры.
- Дополнительные предельные теоремы.
- Центральная предельная теорема в форме Линдеберга, скорость сходимости в ЦПТ (неравенство Бери-Эссеена).
- Неравенства больших отклонений (экспоненциальная скорость сходимости в законе больших чисел: простая экспоненциальная оценка в случае существования всех моментов, неравенство Чернова).
- Последовательности зависимых случайных величин. Мартингалы с дискретным временем, марковские процессы с дискретным временем (только определения). ЦПТ для марковских процессов, ЦПТ для мартингалов. Неравенства больших отклонений для мартингалов (неравенство Азумы).
Задачи:
Список 1,
Список 2,
Список 3,
Список 4,
Список 5,
Список 6
Литература
- Боровков А.А. "Теория вероятностей", 3-е издание — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
- Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей", 8-е издание — М. Эдиториал УРСС, 2005.
- Жуковский М.Е., Родионов И.В. "Основы теории вероятностей" — М. МФТИ, 2015.
- Севастьянов Б.А. "Курс теории вероятностей и математической статистики" — М. Наука, 1982.
- Феллер В. "Введение в теорию вероятностей и ее приложения" — М. Мир, 1967.
- Ширяев А.Н. "Вероятность", 4-е издание — М.: МЦНМО, 2007.
|