РУС/ENG    

Приближенные методы аналитических вычислений

Я.В. Фоминов, Ю.Г. Махлин, И.С. Бурмистров, С.С. Вергелес, В.М. Парфеньев, М.А. Скворцов

Приближенные методы аналитических вычислений (семинар)

О.Б. Зуев, А.Д. Коковин

Предлагается курс смешанного типа, в котором каждое занятие, посвященное определенной теме, представляет собой частично лекцию, а частично - семинар с разбором задач (в том числе, и слушателями). Цель курса - дать студентам начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но практически не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс.

Программа

1. Размерные оценки в физике. Приближенное решение уравнений с «малым параметром». (Я.В.Фоминов, 07.02.2024)

   Будет дано общее введение о том, зачем нужен этот курс; затем будет рассказано о размерных оценках и выделении безразмерных параметров, определяющих поведение физической системы. Затем мы рассмотрим примеры приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений с малыми и большими параметрами и методы оценки конечных сумм при помощи интегралов.

2. Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро-осциллирующих функций. (Ю.Г.Махлин, 14.02.2024)

   На этом занятии рассматривается вычисление интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций. Обсуждаются случаи собственных и несобственных интегралов. Рассматривается асимптотика функции интегральной экспоненты. Как пример очень быстро меняющейся функции рассматривается дельта-функция Дирака.

3. Приближенное вычисление определенных интегралов. Интегралы с «малым параметром». (И.С.Бурмистров, 21.02.2024)

   Вычисление интегралов путем разложения функции в ряд (сходящийся либо асимптотический). Приближенное вычисление интегралов при помощи оценки подинтегрального выражения. Анализ интегралов с «малыми» и «большими» параметрами.

4. Определенные интегралы, зависящие от параметра. (И.С.Бурмистров, 28.02.2024)

   На этом занятии рассматриваются различные примеры вычисления интегралов с помощью метода дифференцирования и интегрирования по параметру, от которого зависит подынтегральное выражение. Также рассматривается вычисление расходящихся несобственных интегралов с помощью различных способов регуляризации (размерная регуляризация, регуляризация Паули-Вилларса).

5. Вычисления интегралов и рядов методом перевала. (Я.В.Фоминов, 06.03.2024)

   Если под интегралом в качестве одного из множителей стоит экспонента, показатель которой имеет резкий максимум, то значение такого интеграла определяется окрестностью максимума, и интеграл может быть приближенно вычислен с помощью представления показателя экспоненты в виде параболы. На этом основан метод перевала, который будет рассмотрен на данном занятии. В некоторых случаях аналогичным образом может быть вычислена и сумма ряда.

6. Интегрирование в криволинейных координатах. (С.С.Вергелес, 13.03.2024)

   Объем параллелепипеда, натянутого на данные вектора в линейном пространстве. Изменение меры интегрирования (формы объема) при замене координат: якобиан. Понятие о метрическом тензоре. Выражение формы объема в произвольной системе координат через метрический тензор. Сферическая и цилиндрическая системы координат.

7. Теория возмущений в линейной алгебре для собственных чисел и собственных векторов конечномерных матриц; снятие вырождения возмущением. (Ю.Г.Махлин, 20.03.2024)

   Многие практические задачи не могут быть решены точно, однако не сильно отличаются от точнорешаемых. Например, мы умеем решать задачу о собственных числах и собственных векторах некоторой матрицы М, а нас интересует близкая к ней матрица М1. Надо уметь находить приближенное решение "возмущенной" задачи для М1, зная точное решение для М. На данном занятии будет рассказано, как строить такую теорию возмущений. Будут рассмотрены случаи как невырожденных, так и вырожденных собственных значений.

8. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (В.М.Парфеньев, 27.03.2024)

   Уравнения первого порядка. Локальное решение. Примеры отсутствия глобального решения с качественным анализом причин. Системы линейных уравнений первого порядка. Формализм матричных экспонент. Представление оператора эволюции в общем случае в виде упорядоченных экспонент и их явное вычисление по теории возмущений. Гармонический осциллятор и проявление параметрического резонанса в первом порядке теории возмущений.

9. Обыкновенные дифференциальные уравнения с «малым параметром». (В.М.Парфеньев, 03.04.2024)

   Обыкновенные дифференциальные уравнения встречаются во многих физических ситуациях. Например, они описывают движение частицы во внешнем поле или под внешним воздействием. Как правило, найти явное решение уравнений движения не представляется возможным. Однако имеется некоторое количество частных случаев (осциллятор, кеплерово движение), для которых известно аналитическое решение. И если внешнее воздействие можно представить, как силу, под действием которой тело совершает известное движение, плюс малую поправку, то траекторию частицы можно искать по теории возмущений. Она заключается в том, что последовательно вычисляются приближения, связанные с малой добавкой. Однако в ряде важных случаев, связанных с различного рода резонансами, прямая теория возмущений не работает. Мы объясним, что делать в этом случае.

10. Преобразования Фурье. (М.А.Скворцов, 10.04.2024)

    В этой лекции определяется интегральное преобразование Фурье и изучаются его свойства. Обсуждается применение преобразования Фурье для решения дифференциальных и интегральных уравнений. Рассматривается преобразование Фурье для периодических функций и функций, определенных на решетке.

11. Дополнительные семинары по преобразованию Фурье (17.04.2024)

12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений вариационным методом. (С.С.Вергелес, 24.04.2024)

    Во многих случаях обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть записаны, как условия экстремума (минимума) некоторого функционала. Например, классические уравнения движения могут быть представлены, как условие экстремума (минимума) так называемого действия. В этом случае поиск приблизительной траектории частицы может быть осуществлен вариационным методом, который заключается в том, что функционал минимизируется на ограниченном наборе траекторий. Мы на нескольких примерах разберем возможности этого метода.

13. Основные принципы работы в программе Mathematica. (М.А.Скворцов, 08.05.2024, онлайн)

    Базовые принципы работы в пакете Mathematica: переменные, функции, структура выражений, подстановки. Основные операции. Графики. Особенности применения Mathematica при проведении численных оценок.

    Материалы к лекции: v.2014, v.2020, zoom2020,   бонус: Бешеный маляр     

Литература

1. А.Б. Мигдал, «Качественные методы в квантовой теории»
2. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, «Механика».
3. Я.Б.Зельдович и А.Д. Мышкис, «Элементы прикладной математики» (1972 г.)